Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

173 7.9 Historisches zu den Kegelschnitten 2. Fall: Wir verkleinern die Seitenlänge 2p des Rechtecks OABC um ein kleines Stück u und erhalten das Rechteck OEFC mit den Seitenlängen 2p – u und x. Dieses verwandeln wir wie vorhin in ein flä- chengleiches grünes Quadrat. Nach dem Höhen- satz gilt: y 2 = (2p – u) · x = 2px – ux Die Gerade AF schneide die erste Achse im Punkt G. Wir setzen ​ _ OG​= 2a. Nach dem Strahlen- satz gilt u : 2p = x : 2a und daraus folgt u = ​  p _ a ​· x. Setzen wir dies in die obige Gleichung ein, erhal- ten wir: y 2 = 2px – ​  p _ a ​· x 2 Durchläuft der Punkt F die strichlierte Diagonale, dann durchläuft der Punkt P = (x 1 y) einen Teil ei- ner Kurve mit der Gleichung y 2 = 2px – ​  p _ a ​· x 2 . Dies ist die Scheitelgleichung einer Ellipse mit: 1 – ε 2 = ​  p _ a ​ , dh. ε = ​ 9 ___ 1 – ​  p _ a  ​ ​  3. Fall: Wir vergrößern die Seitenlänge des Rechtecks OABC um ein kleines Stück u und erhalten das Rechteck OEFC mit den Seitenlängen 2p + u und x. Dieses verwandeln wir wiederum auf die glei- che Weise in ein flächengleiches grünes Quadrat. Nach dem Höhensatz gilt: y 2 = (2p + u) · x = 2px + ux Die Gerade EB schneide die erste Achse im Punkt G. Wir setzen ​ _ CG​= 2a. Nach dem Strahlen- satz gilt u : 2p = x : 2a und somit u = ​  p _ a ​· x. Setzen wir dies in die obige Gleichung ein, erhalten wir: y 2 = 2px + ​  p _ a ​· x 2 Durchläuft der Punkt B die strichlierte Linie, dann durchläuft der Punkt P = (x  1 y) einen Teil einer Kurve mit der Gleichung y 2 = 2px + ​  p _ a ​· x 2 . Dies ist die Scheitelgleichung einer Hyperbel mit: 1 – ε 2 = – ​  p _ a ​, dh. ε = ​ 9 ___ 1 + ​  p _ a ​​ Vergleichen wir die drei Fälle miteinander, so kann man Folgendes feststellen: „„ Im ersten Fall wurde das rote Rechteck in ein grünes flächengleiches Quadrat verwan- delt. Nach dem griechischen Wort para­ ballein ( = gleichkommen) nannte Appoloni- os die entstehende Kurve Parabel . „„ Im zweiten Fall wurde ein etwas kleineres rotes Rechteck in ein flächengleiches grünes Quadrat verwandelt. Nach dem griechischen Wort elleipein ( = ermangeln) nannte Appo- lonios die entstehende Kurve Ellipse . „„ Im dritten Fall wurde ein etwas größeres ro- tes Rechteck in ein flächengleiches grünes Quadrat verwandelt. Nach dem griechischen Wort hyperballein ( = übersteigen, übertref- fen) nannte Appolonios die entstehende Kurve Hyperbel . 2. A. 1. A. O E F u x B A C G x y y y 2p – u 2p 2p – u 2a P D 2. A. 1. A. A B x F E C O G x y y y 2p 2p + u 2p + u 2a P D u Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv