Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

172 7 Ellipse, Hyperbel und Parabel In Abb. 7.14b sei ​ _ OB​= 2a. Wir zeichnen von O aus eine beliebige Halbgerade g. Von B aus zeichnen wir eine Normale auf g, diese schneide die 2. Ach- se im Punkt Y. Wegen der Ähnlichkeit der Drei- ecke YOB und PYO gilt x : y = y : 2a und somit y 2 = 2ax. Wird die Halbgerade g um O gedreht, be- wegt sich der Punkt P auf einer Parabel (in 1. Hauptlage) mit der Gleichung y 2 = 2ax. Schneidet man die beiden Parabeln (siehe Abb. 7.14 c), so gilt für den Schnittpunkt S sowohl a : x = x : y als auch x : y = y : 2a. Es gilt also insge- samt a : x = x : y = y : 2a, womit die beiden mittle- ren Proportionalen x und y gefunden sind. Menaichmos hat außerdem gezeigt, dass der Schnittpunkt S auf einer gleichseitigen Hyperbel (Hyperbel mit a = b) liegt. Die neu entdeckten Kurven wurden später als „Perlen des Menaich- mos“ bezeichnet. Die Zeitgenossen von Menaich- mos haben aber seine Lösung des Delischen Pro- blems nicht anerkannt. Platon war der Meinung, dass solche Lösungsversuche keine erlaubten theoretischen Methoden seien und das Gute in der Geometrie zerstören würden. Deshalb mach- te sich Menaichmos auf die Suche nach anderen Beschreibungsmöglichkeiten seiner Kurven. Da- bei entdeckte er, dass diese Kurven auch durch Schnitte von Ebenen mit einem Kegel erzeugt werden konnten. Wie er dies allerdings begrün- dete, ist nicht überliefert. (Im Gegensatz zum heutigen Vorgehen war es damals üblich, die Ebe- ne stets normal zu einer Erzeugenden des Kegels zu legen, dafür aber den Öffnungswinkel des Ke- gels zu drehen.) In der Folgezeit wuchs das Wissen über Kegel- schnitte stark an. In dem bedeutenden, aus acht Bänden bestehenden Werk „Konika“ ( = Kegel- schnitte) hat APPOLONIOS von Perge (ca. 260– ca. 190 v.Chr.) das gesamte Wissen seiner Zeit über Kegelschnitte zusammengefasst. (Die ersten vier Bücher sind in griechischer Sprache erhalten, die Bücher 5 bis 7 in arabischer Übersetzung, das achte Buch ist verlorengegangen.) Appolonios hat auch die Namen „Ellipse“, „Hyper- bel“ und „Parabel“ eingeführt. Er stieß auf diese Kurven bei der Aufgabe, ein Rechteck mit Zirkel und Lineal in ein flächengleiches Quadrat zu ver- wandeln. Dabei unterschied er drei Fälle: 1. Fall: Das rote Rechteck OABC soll in ein flächenglei- ches Quadrat verwandelt werden. Wir setzen den Zirkel in O ein und erhalten durch Abschlagen der Länge 2p auf der negativen ersten Achse den Punkt D. Über der Strecke DC errichten wir den Thaleskreis. Nach dem Höhensatz gilt: y 2 = 2px Das rote Rechteck mit den Seitenlängen 2p und x ist somit jedem Quadrat mit der Seitenlänge y flächengleich, zum Beispiel dem grün eingezeich- neten Quadrat. Wenn die Seitenlänge x wächst, dann durchläuft der Punkt P = (x 1 y) einen Teil ei- ner Parabel mit der Gleichung y 2 = 2px. 2. A. 1. A. A B C O x y y y 2p 2p P D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv