Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

171 1. A. A B x F E C O y 2p 2p + u 2p + u 2a D u Eines der berühmtesten mathematischen Proble- me der Antike ist das so genannte „Delische Pro- blem der Würfelverdopplung“. Im 5. Jahrhundert v.Chr. wütete auf der griechischen Insel Delos die Pest. Einer Sage zufolge wurden die Bewohner von Delos durch das Orakel von Delphi aufgefor- dert, das Volumen des auf der Insel befindlichen würfelförmigen Apollon-Altars zu verdoppeln, um so die Ausbreitung der Pest zu stoppen. Da die Bewohner der Insel mit dieser Aufgabe überfor- dert waren, wandten sie sich an die Geometer der berühmten Akademie des Platon in Athen. Die platonische Schule konnte zwar gegen die Pest nichts unternehmen, war aber an diesem Problem theoretisch interessiert und bestand da- rauf, es allein mit Zirkel und Lineal zu lösen. Viele Jahrhunderte lang versuchten Mathematiker er- folglos, dieses Problem zu bewältigen. Im 19. Jahr- hundert konnte man mit Mitteln der modernen Algebra zeigen, dass die Aufgabenstellung mit Zirkel und Lineal allein nicht lösbar ist. Wohl aber ist sie lösbar, wenn man diese strikte Einschrän- kung aufgibt. Einen ersten Hinweis auf eine mögliche Lösung gab HIPPOKRATES von Chios (um 440 v.Chr.). Er stellte fest, dass das Problem gelöst sei, wenn man zu einer Strecke a zwei Strecken x und y kon- struieren kann, für die gilt: a : x = x : y = y : 2a Man bezeichnet die Strecken x und y als „mittlere Proportionalen von a und 2a“. Aus diesen Propor- tionsgleichungen folgt x 2 = ay und y 2 = 2ax und daraus folgt: x 4 = a 2 y 2 = a 2  · 2ax = 2a 3 x bzw.  x 3 = 2a 3 Besitzt also der ursprüngliche Würfel die Kanten- länge a, dann ist x die Kantenlänge des gesuch- ten Würfels mit doppeltem Volumen. MENAICHMOS (408 – 355 v.Chr.) fand eine Metho- de, die mittleren Proportionalen x und y durch den Schnitt zweier Parabeln zu konstruieren. Wir erläutern diese Methode anhand der folgenden Abbildungen. In Abb. 7.14a sei ​ _ OA​= a. Wir zeichnen von O aus eine beliebige Halbgerade g. Von A aus zeichnen wir eine Normale auf g, diese schneide die 1. Ach- se im Punkt X. Die Normale auf die 1. Achse durch X schneide die Gerade g im Punkt P. Wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke AOX und OXP gilt a : x = x : y und somit x 2 = ay. Wird die Halbgerade g um O gedreht, bewegt sich der Punkt P auf einer Parabel (in 2. Hauptlage) mit der Gleichung x 2 = ay. 7.9 Historisches zu den Kegelschnitten Abb. 7.14a Abb. 7.14b Abb. 7.14 c 0 P A a y x X g 0 P B 2a y x Y g 0 S y x Apollon-Tempel, Delphi Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv