Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

17 2.1 Differenzenquotient und Differentialquotient 2.11 Wenn ein Stein ins Wasser geworfen wird, geht vom Aufprall- punkt eine kreisförmige Welle aus. Die Wellenfront ist dabei ein Kreis mit wachsendem Radius r. Es sei A(r) der Flächen­ inhalt eines solchen Kreises (r in Meter, A(r) in Quadratmeter). 1) Gib eine Formel für die Zunahme des Flächeninhalts im Radiusintervall [r; z] an und berechne mit dieser Formel die Zunahme des Flächeninhalts in den Radiusintervallen [1; 2] und [2; 3]! 2) Gib eine Formel für die mittlere Änderungsrate des Flächeninhalts im Radiusintervall [r; z] an und berechne mit dieser Formel die mittlere Änderungsrate des Flächeninhalts in den Radiusintervallen [1; 2] und [2; 3]! 3) Gib eine Formel für die Änderungsrate A’(r) des Flächeninhalts beim Radius r an und berechne mit dieser Formel die Änderungsrate des Flächeninhalts bei den Radien 1 und 3! Bei welchem dieser beiden Radien ändert sich der Flächeninhalt stärker? 2.12 Ein kugelförmiger Ballon vom Radius r hat den Oberflächeninhalt O(r) = 4 π r 2 (r in Dezimeter, O in dm 2 ). Der Ballon wird aufgeblasen. 1) Gib eine Formel für die mittlere Änderungsrate des Oberflächeninhalts im Radiusintervall [r; z] an und berechne mit dieser Formel die mittlere Änderungsrate des Oberflächeninhalts in den Radiusintervallen [10; 20] und [20; 30]! In welchem dieser beiden Intervalle ist die mittlere Änderungsrate des Oberflächeninhalts größer? 2) Gib eine Formel für die Änderungsrate O’(r) beim Radius r an und berechne O’(1) und O’(3)! Bei welchem dieser beiden Radien ändert sich der Oberflächeninhalt stärker? 3) Ändert sich O’(r) mit wachsendem Radius linear, quadratisch oder keines von beidem? 2.13 Es sei u(r) der Umfang eines Kreises mit dem Radius r. Der Radius wird vergrößert. 1) Zeige, dass die mittlere Änderungsrate des Kreisumfangs in jedem Radiusintervall [r; z] den gleichen Wert hat! 2) Zeige, dass die Änderungsrate u’(r) des Kreisumfangs konstant ist! 2.14 Fülle die Tabelle fertig aus! x f(x) ​  f(z) – f(x) __ z – x  ​ ​ lim  z ¥ x​ ​​  f(z) – f(x) __ z – x  ​ zurückgelegter Weg (in km) verbrauchte Benzin- menge nach x km (in ® ) mittlere Geschwindig- keit im Zeitintervall [x; z] (in km/h) Geschwindigkeit zum Zeitpunkt x (in km/h) Zeit (in h) durchschnittliche Wachstumsgeschwin ­ digkeit des Flächenin- halts einer Bakterien­ kultur im Zeitintervall [x; z] (in mm 2 /h) Höhe (in m) Luftdruck in der Höhe x (in hPa) Wassertiefe eines Kanals nach xm (in m) Änderungsrate der Wassertiefe nach xm (in m/m) Ó  Lernapplet j572vr Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv