Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

169 2. A. 1. A. A B x F E C O G x y y y 2p 2p + u 2p + u 2a P D u  Parabolische Spiegel 7.8 Einige Anwendungen der Kegelschnitte: Spiegel F' F α t β γ δ F' Q M F P γ g t δ φ F' Q M F P g t X P Wir betrachten eine Hyperbel mit den Brenn- punkten F, F’ und der Hauptachsenlänge 2a. Eine Tangente in einem Hyperbelpunkt P (auf dem rechten Hyperbelast) kann man wie folgt kons­ truieren (Abb. 7.6): „„ Zeichne die Halbgerade g = F’P und schlage auf dieser von F’ aus die Länge 2a ab! Es er- gibt sich der Punkt Q. „„ Zeichne die Strecke QF und den Mittelpunkt M dieser Strecke! Behauptung: Die Gerade t = PM ist die Tangente der Hyperbel im Punkt P. Beweis: ​ _ F’P​– ​ _ PF​= 2a  ?  ​ _ F’P​– ​ _ PQ​= 2a  w  ​ _ PF​= ​ _ PQ​ w  PM ist Symmetrale der Strecke FQ. Für jeden von P verschiedenen Punkt X auf t gilt nach der Dreiecksungleichung (Abb. 7.7): ​ _ F’Q​+ ​ _ QX​> ​ _ F’X​, also ​ _ F’X​– ​ _ QX​< ​ _ F’Q​. Daraus folgt ​ _ F’X​– ​ _ FX​= ​ _ F’X​– ​ _ QX​< ​ _ F’Q​= 2a. Der Punkt X liegt also nicht auf der Hyperbel. Der Punkt P ist daher der einzige Punkt auf der Ge- raden t, der auf der Hyperbel liegt. Somit ist die Gerade t die Tangente der Hyperbel im Punkt P.  Der Abb. 7.6 entnimmt man: γ = φ = δ , also γ = δ . Daraus folgt in Abb. 7.8: α = β (Einfallswinkel = Reflexionswinkel). Dieses Ergebnis kann man so interpretieren: Ein von einem Brennpunkt einer Hyperbel aus- gehender Lichtstrahl wird in einem Punkt der Hyperbel so reflektiert, als ob er vom anderen Brennpunkt kommen würde (siehe Abb. 7.8). Diese Eigenschaft einer Hyperbel nützt man bei hyperbolischen Spiegeln aus. Ein solcher Spiegel ist ein Teil eines Hyperboloids, das durch Drehung einer Hyperbel um die Hauptachse entsteht. Eine Anwendung findet sich ua. bei Spiegelteleskopen (siehe nächste Seite). Wir betrachten eine Parabel mit dem Brennpunkt F und der Leitlinie ® . Eine Tangente in einem Para- belpunkt P kann man durch folgende Schrittfolge konstruieren (Abb. 7.9): „„ Zeichne die Gerade FP und die Normalgera- de durch P auf ® ! Der Schnittpunkt dieser Ge- raden mit der Leitlinie sei L. „„ Zeichne die Strecke FL und den Mittelpunkt M dieser Strecke!  Hyperbolische Spiegel ® L M F t γ φ δ ® L M P P P F t X t F α β γ δ Abb. 7.9 Abb. 7.10 Abb. 7.11 Abb. 7.6 Abb. 7.7 Abb. 7.8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv