Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

168 1. A. A B x F E C O y 2p 2p + u 2p + u 2a D u Wir betrachten eine Ellipse mit den Brennpunk- ten F, F’ und der Hauptachsenlänge 2a. Eine Tan- gente in einem Ellipsenpunkt P kann man in fol- genden Schritten konstruieren (Abb. 7.3): „„ Zeichne die Halbgerade g = F’P und schlage auf dieser von F’ aus die Länge 2a ab! Es er- gibt sich der Punkt Q. „„ Zeichne die Strecke QF und den Mittelpunkt M dieser Strecke! Behauptung: Die Gerade t = PM ist die Tangente der Ellipse im Punkt P. Beweis: ​ _ F’P​+ ​ _ PF​= 2a  ?  ​ _ F’P​+ ​ _ PQ​= 2a  w  ​ _ PF​= ​ _ PQ​ w  PM ist Symmetrale der Strecke FQ. Für jeden von P verschiedenen Punkt X auf t gilt nach der Dreiecksungleichung (Abb. 7.4): ​ _ FX​+ ​ _ F’X​= ​ _ QX​+ ​ _ F’X​> ​ _ QF’​= ​ _ QP​+ ​ _ F’P​= ​ _ FP​+ ​ _ F’P​= 2a Der Punkt liegt also nicht auf der Ellipse. Der Punkt P ist somit der einzige Punkt auf der Gera- den t, der auf der Ellipse liegt. Daher ist die Gera- de t die Tangente der Ellipse im Punkt P.  Der Abb. 7.3 entnimmt man: γ = φ = δ , also γ = δ . Daraus folgt in Abb. 7.5: α = β (Einfallswinkel = Reflexionswinkel). Dies kann man so interpretie- ren: Ein von F’ ausgehender Lichtstrahl wird an der Tangente in P so reflektiert, dass er durch F geht. Statt von einer Reflexion an der Tangente kann man von einer Reflexion an der Ellipse sprechen, wobei man sich die Ellipse im Punkt P durch ein winziges Stück der Tangente ersetzt denkt. Man kann also sagen: Ein von einem Brennpunkt einer Ellipse aus­ gehender Lichtstrahl wird in einem Punkt der Ellipse so reflektiert, dass er durch den ande- ren Brennpunkt geht (siehe Abb. 7.5). Diese Eigenschaft einer Ellipse nützt man bei el- liptischen Spiegeln aus. Ein solcher Spiegel ist Teil eines Ellipsoids, das durch Drehung einer El- lipse um die Hauptachse entsteht. Zahnärzte verwenden spezielle Lampen, die einen Reflektor mit elliptischem Querschnitt besitzen. Die Lichtquelle befindet sich in einem Brennpunkt F des Reflektors, die reflektierten Lichtstrahlen werden im zweiten Brennpunkt F’ gesammelt, der sich im Mund des Patienten befindet. Flüsterbögen besitzen eine Kuppel, die Teil eines Ellipsoids ist. Eine Person, die sich in einem Brennpunkt befindet, kann einer anderen Person, die sich im zweiten Brennpunkt befindet, etwas zuflüstern. Die Schallwellen werden an der Kup- pel reflektiert und treffen sich im zweiten Brenn- punkt. Dort ist das Flüs- tern deutlich zu hören, an den übrigen Stellen kaum oder gar nicht. F' F 7.8 Einige Anwendungen der Kegelschnitte: Spiegel Elliptische Spiegel Q g F F' P γ δ φ t M Q g F F' P t t M X F F' γ α β δ P Abb. 7.3 Abb. 7.4 Abb. 7.5 Flüsterbogen beim Burgriesenhaus in Innsbruck Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv