Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

167 7.7 Kegelschnitte Durch diese Verschiebung geht die Ellipsengleichung b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 bzw. die Hyperbel gleichung b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 über in: b 2 (x – a) 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 bzw. b 2 (x + a) 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 Daraus ergibt sich durch einfache Umformungen: y 2 =   2b 2 _ a  · x –   b 2 _ a 2 · x 2 y 2 =   2b 2 _ a  · x +   b 2 _ a 2 · x 2 y 2 =   2b 2 _ a  · x –   a 2 – e 2 _ a 2 · x 2 y 2 =   2b 2 _ a  · x +   e 2 – a 2 _ a 2 · x 2 y 2 =   2b 2 _ a  · x – 2  1 –   e 2 _  a 2   3 · x 2 y 2 =   2b 2 _ a  · x + 2    e 2 _ a 2 – 1  3 · x 2 Setzen wir   b 2 _ a  = p und   e _  a = ε , ergibt sich in beiden Fällen dieselbe Gleichung: y 2 = 2px + ( ε 2 – 1) · x 2 y 2 = 2px + ( ε 2 – 1) · x 2 Man nennt ε die numerische Exzentrizität des betreffenden Kegelschnitts. Für die Ellipse ist ε =   e _ a < 1, für die Hyperbel ist ε =   e _ a > 1. Für ε = 1 ergibt sich y 2 = 2px, also eine Gleichung einer Parabel in 1. Hauptlage. Wir fassen zusammen: Satz Scheitelgleichung der Kegelschnitte: Die Gleichung y 2 = 2px + ( ε 2 – 1) · x 2 (mit p * R + , ε * R 0   + ) stellt für ε < 1 eine Ellipse , für ε = 1 eine Parabel , für ε > 1 eine Hyperbel dar. Aufgaben Vertiefung 7.170 Zeige: Für ε = 0 stellt die Gleichung einen Kreis dar. Satellitenbahnen Ein Erdsatellit wird von einer Raumstation P tangential zu deren Umlaufbahn abgeschossen. Die Bahn des Satelliten hängt von der Abschussgeschwindigkeit v ab. Ist v zu klein, fällt der Satellit auf die Erde zurück. Erreicht die Abschussgeschwindigkeit einen ausreichenden Wert v 1 , so beschreibt der Satellit eine Kreisbahn um die Erde. Bei etwas größeren Abschussgeschwindigkeiten ist seine Bahn eine Ellipse, wobei die Erde in einem Brennpunkt der Bahnkurve liegt. Erreicht die Abschussgeschwindigkeit einen genügend großen Wert v 2 , geht die elliptische Bahn in eine Parabel über und der Satellit entfernt sich immer weiter von der Erde. Bei noch größerer Abschussgeschwindigkeit entflieht der Satellit auf einer Hyperbelbahn. y x ε > 1 Hyperbel ε = 1 Parabel ε < 1 Ellipse Ó P v v 1 < v < v 2 Ellipse v = v 2 Parabel v > v 2 Hyperbel v = v 1 Kreis Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv