Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

166 7 Ellipse, Hyperbel und Parabel In Abb. 7.2a erscheint die Ebene E (rot) als Gerade, die Schnittkurve (blau) und die Berührkreise k und k’ der Kugeln mit dem Kegelmantel (grün) erscheinen als Strecken. Die Berührpunkte der Kugeln mit der Ebene E bezeichnen wir mit F und F’. Der Punkt P sei ein beliebiger Punkt der Schnittkurve. Die Mantellinie durch P und S schneide die Berührkreise k und k’ in den Punkten G und G’. Die Geraden PF und PG sind Tangenten an dieselbe Kugel und somit ist _ PF= _ PG. Analog ergibt sich für die zweite Kugel _ PF’= _ PG’. Damit folgt _ PF+ _ PF’= _ PG+ _ PG’= _ GG’. Da der Abstand der beiden Berührkreise entlang jeder Mantellinie konstant ist, können wir _ GG’= 2a setzen und erhalten _ PF+ _ PF’= 2a. Der Punkt P liegt also auf einer Ellipse mit den Brennpunkten F, F’ und der Hauptachsen- länge 2a. In Abb. 7.2b erscheint die Ebene E (rot) als Gerade, die Schnittkurve (blau) erscheint als Vereinigung zweier Halbgeraden und die Berührkreise k und k’ der Kugeln mit dem Kegelmantel (grün) erscheinen als Strecken. Der Punkt P sei ein beliebiger Punkt der Schnittkurve. Durch analoge Überlegungen wie vorhin ergibt sich _ PF= _ PGund _ PF’= _ PG’. Daraus folgt † _ PF– _ PF’  † = † _ PG– _ PG’  † = _ GG’. Setzen wir wiederum _ GG’= 2a, erhalten wir † _ PF– _ PF’  † = 2a. Der Punkt P liegt also auf einer Hyperbel mit den Brennpunkten F, F’ und der Hauptachsenlänge 2a. In Abb. 7.2 c erscheint die Ebene E (rot) als Gerade und die Schnittkurve (blau) als Halb- gerade. Der Berührkreis k der Kugel mit dem Kegelmantel (grün) erscheint als Strecke. Den Berührpunkt der Kugel mit der Ebene E bezeichnen wir mit F. Durch den Berührkreis k legen wir eine weitere Ebene (orange), die in der Zeichnung als Gerade erscheint. Diese Ebene schneide die Schnittebene E längs der Geraden ® , die in der Zeichnung als Punkt erscheint. Der Punkt P sei ein beliebiger Punkt der Schnittkurve. Die Mantellinie SP drehen wir um S längs des Kegelmantels in die Lage SP’, wodurch der Punkt G in den Punkt G’ übergeht. Da bei dieser Drehung die Abstände erhalten bleiben, gilt _ PG= _ P’G’. Da die Geraden PF und PG Tangenten an dieselbe Kugel sind, gilt außerdem _ PF= _ PG. Insgesamt gilt somit _ PF= _ PG= _ P’G’= _ P ® , also insgesamt _ PF= _ P ® . Der Punkt P liegt somit auf einer Parabel mit dem Brennpunkt F und der Leitlinie ® . Aufgaben Vertiefung 7.169 Welche Schnitte ergeben sich, wenn die Ebene E durch die Spitze S des Doppelkegels geht? Erläutere anhand von Skizzen! (Es gibt drei Fälle.) Die Scheitelgleichung der Kegelschnitte Da Ellipse, Hyperbel und Parabel auf analoge Weise durch Schnitte von Ebenen mit einem Doppelkegel entstehen, erhebt sich die Frage, ob sich diese Kurven nicht durch Gleichungen von einheitlicher Form darstellen lassen. Dies ist in der Tat möglich, wenn man eine Ellipse bzw. Hyperbel in 1. Hauptlage so verschiebt, dass der Scheitel A’ der Ellipse bzw. der Scheitel A der Hyperbel im Koordinatenursprung liegt. 1. A. 2. A. F F' M B B' A' A 1. A. 2. A. F' A' F AM B B' Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv