Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

165 1. A. A B x F E C O y 2p 2p + u 2p + u 2a D u 7.7 Kegelschnitte Ebene Schnitte eines Doppelkegels In diesem Abschnitt erfahren wir, warum man Ellipse, Hyperbel und Parabel als Kegelschnitte bezeichnet. Sei a eine Gerade im Raum und S ein Punkt auf a. Alle Geraden, die durch den Punkt S gehen und mit der Geraden a einen Winkel vom Maß α einschließen, bilden eine unbegrenzte Fläche, die man als Doppelkegel bezeichnet. Die Gerade a heißt Achse dieses Doppelkegels. Die Geraden, aus denen der Doppelkegel besteht, heißen Erzeugende bzw. Mantellinien des Doppelkegels. Der Punkt S heißt Spitze des Doppelkegels. Schneidet man einen solchen Doppelkegel mit einer Ebene E, die nicht durch die Spitze S geht, erhält man je nach Lage der Ebene verschiedene Schnittkurven, die in den folgenden Abbildun- gen dargestellt sind. Abb. 7.1 a  Abb. 7.1 b  Abb. 7.1 c Diese Abbildungen lassen vermuten: „„ Die Schnittkurve in Abb. 7.1 a ist eine Ellipse . (Falls die Ebene normal zur Achse ist, erhält man als Sonderfall einen Kreis.) „„ Die Schnittkurve in Abb. 7.1 b ist eine Parabel . (In diesem Fall ist die Ebene parallel zu einer Erzeugenden des Doppelkegels.) „„ Die Schnittkurve in Abb. 7.1 c ist eine Hyperbel . Zum Beweis dieser Vermutungen legen wir in den Doppelkegel jeweils jene Kugeln, die die Schnitt­ ebene E und den Kegelmantel berühren. Im Fall der Ellipse und Hyperbel gibt es jeweils zwei solche Kugeln, im Fall der Parabel nur eine. Diese Kugeln bezeichnet man als Dandelin’sche Kugeln (nach dem belgischen Festungsbaumeister und Mathematiker Pierre DANDELIN, 1794–1847). In Abb. 7.2a, b, c ist jeweils ein Achsenschnitt des Doppelkegels (seitliche Ansicht) gezeichnet. Abb. 7.2a  Abb. 7.2b  Abb. 7.2 c a S α α α Ó p7p8ic E E E G E F P F' G' k k' S G' G P F S E F' k' k S G ® E F P' P G' k Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv