Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

164 7 Ellipse, Hyperbel und Parabel Aufgaben Vertiefung 7.158 Die Punkte P und P’ liegen auf der Parabel par symmetrisch zur Parabelachse. Berechne den Schnittpunkt S der Tangenten in P und P’ und zeige, dass der Brennpunkt F der Parabel der Umkreismittelpunkt des Dreiecks PP’S ist! a) par: y 2 = 48x, P = (3 1 p 2 ), P’ = (3 1 –p 2 ) b) par: y 2 = 2x, P = (8 1 p 2 ), P’ = (8 1 –p 2 ) 7.159 Ermittle eine Gleichung der Parabel par in 1. Hauptlage durch den Punkt P = (1,5 1 6) sowie eine Gleichung der Tangente t in P! Bestimme den Schnittpunkt L dieser Tangente mit der Leitlinie der Parabel und zeige, dass die Normale auf t durch L ebenfalls Tangente von par ist! 7.160 Die Tangenten an die Parabel par: y 2 = 16x in den Parabelpunkten P = (p 1 1 –12), Q = (q 1 1 – 4) und R = (r 1 1 8) begrenzen ein Dreieck ABC. Zeige: 1) Das Dreieck ABC hat einen halb so großen Flächeninhalt wie das Dreieck PQR. 2) Der Höhenschnittpunkt des Dreiecks ABC liegt auf der Leitlinie der Parabel. 3) Der Brennpunkt F der Parabel liegt auf dem Umkreis des Dreiecks ABC. 7.161 Wie Aufgabe 7.160 für par: 36y = x 2 , P = (–12 1 p 2 ), Q = (6 1 q 2 ), R = (18 1 r 2 ) . 7.162 Ermittle zur Parabel y 2 = 2px mit dem Brennpunkt F eine Gleichung der Tangente im Parabel- punkt P = (p 1 1 p 2 ). Zeige, dass diese Tangente 1) die 1. Achse im Punkt P 1 = (–p 1 1 0) schneidet, 2) die 2. Achse im Punkt P 2 = 2  0  1    p 2 _ 2      3 schneidet, 3) auf die Gerade FP 2 normal steht, 4) mit der 1. Achse einen gleich großen Winkel einschließt wie mit PF! Tangenten aus einem Punkt an eine Parabel 7.163 Gib Gleichungen der Tangenten aus dem Punkt Q an die Parabel par an! a) par: y 2 = 8x, Q = (0 1 2) c) par: y 2 = 5x, Q = (15 1 10) b) par: y 2 = 9x, Q = (12 1 12) d) par: y 2 = x, Q = (– 8 1 1) 7.164 Ermittle jenen Punkt auf der Geraden g: y = 2, von dem aus die Tangenten an die Parabel par: y 2 = 4x aufeinander normal stehen! Tangenten mit vorgegebener Richtung 7.165 Gib eine Gleichung der Tangente an die Parabel par an, die den Richtungsvektor _  À  ghat! a) par: y 2 =   3 _ 2 x, _  À  g= (12 1 1) b) par: y 2 =   5 _ 4 x, _  À  g= (8 1 –1) c) par: y 2 = 6x, _  À  g= (2 1 3) 7.166 Gib eine Gleichung der Tangente an die Parabel par an, die zur Geraden g parallel ist! a) par: y 2 = 10x, g: X = (– 2 1 7) + t · (–5 1 2) c) par: y 2 = 3x, g: 3x – 8y = 2 b) par: y 2 = 8x, g: X = (1 1 2) + t · (4 1 1) d) par: y 2 = 2x, g: x + y = 3 7.167 Gib Gleichungen der Tangenten an die Parabel par in den Parabelpunkten P und Q an! Ermittle weiters den Schnittpunkt S dieser Tangenten sowie den Berührpunkt T der zu PQ parallelen Tangente! Zeige: T ist der Mittelpunkt der Strecke SM PQ , wobei M PQ der Mittelpunkt der Strecke PQ ist. a) par: y 2 = 18x, P = (p 1 1 – 6), Q = (q 1 1 12) b) par: y 2 = 3x, P = (p 1 1 3), Q = (q 1 1 9) 7.168 Gegeben sei eine Parabel in 1. Hauptlage. Gibt es zu jeder Geraden eine Parallele, die Tangente der gegebenen Parabel ist? Begründe die Antwort! Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv