Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

163 7.6 Parabel und Gerade Tangente in einem Punkt der Parabel Definition Eine Gerade t, die mit einer Parabel nur den Punkt P gemeinsam hat und nicht parallel zur Achse der Parabel ist, bezeichnet man als Tangente an die Parabel im Punkt P. Satz Spaltform der Tangentengleichung einer Parabel: Eine Gleichung der Tangente in einem Punkt P = (p 1 1 p 2 ) der Parabel y 2 = 2px lautet: p 2 y = px + pp 1 = p · (x + p 1 ) Merke Die Spaltform der Tangentengleichung entsteht aus der Parabelgleichung y 2 = 2px durch „Aufspaltung“ von y 2 = y · y in p 2 · y und „Aufspaltung“ von 2px = px + px in px + pp 1 . par: y · y = p · x + p · x 1223425 1223425 1223425 ↓ ↓ ↓ t: p 2 · y = p · x + p · p 1 Beweis des Satzes: Wir zeigen, dass die Parabel y 2 = 2px und die Gerade p 2 y = px + pp 1 genau den Punkt P = (p 1 1 p 2 ) gemeinsam haben. {    y 2 = 2px    p 2 y = px + pp 1 w y =   p _  p 2 (x + p 1 ). Einsetzen in die erste Gleichung liefert:   p 2 _  p 2 2 (x 2 + 2p 1 x + p 1 2 ) = 2px | · p 2 2 p 2 (x 2 + 2p 1 x + p 1 2 ) = 2pp 2 2 x (p 2 2 = 2pp 1 , weil P = (p 1 1 p 2 ) * par) 12325 2pp 1 p 2 (x 2 + 2p 1 x + p 1 2 ) = 4p 2 p 1 x | : p 2 x 2 + 2p 1 x + p 1 2 – 4p 1 x = 0 x 2 – 2p 1 x + p 1 2 = 0 x = p 1 ± 9 _____ p 1 2 – p 1 2 = p 1 y =   p _  p 2 (p 1 + p 1 ) =   2pp 1 _ p 2 =   p 2 2 _ p 2 = p 2  Aufgaben Grundkompetenzen 7.155 Ermittle eine Gleichung der Tangente der Parabel par im Punkt P der Parabel! a) par: y 2 = 5x, P = (5 1 p 2 ) mit p 2 > 0 d) par: 2y 2 = 3x, P = (p 1 1 3) b) par: y 2 = 4x, P = (9 1 p 2 ) mit p 2 > 0 e) par: y 2 = x, P = (p 1 1 – 9) c) par: y 2 – 2x = 0, P = (32 1 p 2 ) mit p 2 < 0 f) par: y 2 – 2x = 0, P = (p 1 1 18) 7.156 Von einer Parabel in 1. Hauptlage kennt man den Punkt P = (6 1 6). 1) Gib eine Gleichung der Tangente der Parabel im Punkt P an! 2) Berechne die Schnittpunkte dieser Tangente mit der 2. Achse und der Leitlinie der Parabel! 7.157 Von einer Parabel in 1. Hauptlage kennt man den Punkt P = (4 1 4). Der Punkt P’ liegt symmetrisch zu P bezüglich der Parabelachse. 1) Gib Gleichungen der Tangenten der Parabel in den Punkten P und P’ an! 2) Berechne den Schnittpunkt S der beiden Tangenten! 3) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks PSP’! 0 P t Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv