Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

161 7.5 Die Parabel 7.141 Der Punkt P = (9 1 p 2 ) mit p 2 > 0 liegt auf der Parabel in 1. Hauptlage mit der Gleichung y 2 = 4x. Gib den Brennpunkt F sowie eine Gleichung der Leitlinie der Parabel an! Überprüfe durch Rechnung, ob ​ _ PF​= ​ _ P ®​ gilt! 7.142 Gegeben ist die Parabel in 1. Hauptlage mit folgender Gleichung. Berechne den Flächeninhalt des nebenstehend abgebildeten Rechtecks! a) y 2 = 4x b) y 2 = 8x c) y 2 = 5x d) y 2 = 9x Parabeln in 2. Hauptlage 7.143 Bestimme den Parameter p und den Brennpunkt der Parabel in 2. Hauptlage mit folgender Gleichung! a) x 2 = 8y b) y = ​  x 2 _  16 ​ c) y = ​  4 _  25 ​x 2 d) x 2 – 5y = 0 7.144 Von einer Parabel in 2. Hauptlage kennt man den Parameter p. Stelle eine Gleichung der Parabel auf und untersuche, ob die Punkte P und Q auf der Parabel liegen! a) p = 4, P = (4 1 2), Q = (– 3 1 2) b) p = 3, P = (– 5 1 4), Q = (6 1 6) 7.145 Die Parabel par in 1. Hauptlage schneidet eine Parabel par’ in 2. Hauptlage im Punkt P. Stelle Gleichungen von par und par’ auf! a) P = (5 1 2) b) P = (1 1 3) c) P = (4 1 4) d) P = (6 1 3) Graphen quadratischer Polynomfunktionen Den Graph einer Funktion f mit f(x) = ax 2 + bx + c haben wir schon in Mathematik verstehen 5, Seite 173 als „Parabel“ bezeichnet. Wir können jetzt beweisen, dass dies gerechtfertigt war. Satz Der Graph einer Funktion f mit f(x) = ax 2 + bx + c (mit a, b, c * R und a ≠ 0) ist eine Parabel. Beweis: Wir unterscheiden zwei Fälle: 1. Fall: a > 0: Wir gehen von der „Grundparabel“, dh. dem Graphen der Funktion f 0 mit f 0  (x) = x 2 aus und ergänzen f(x) auf ein vollständiges Quadrat: f(x) = ax 2 + bx + c = a · ​ 2  x 2 + ​  b _ a ​· x  3 ​+ c = a · ​ 2  x + ​  b _  2a ​  3 ​ 2 ​– ​  b 2 _ 4a ​+ c = a ·​ 2   x + ​  b _  2a ​  3 ​ 2 ​+ ​  4ac – b 2 __ 4a  ​ Daraus erkennen wir: Der Graph von f entsteht aus der Grundparabel durch eine Verschiebung um ​  b _  2a ​parallel zur 1. Achse, eine anschließende Streckung bzw. Stauchung mit dem Faktor a normal zur 1. Achse und eine anschließende Verschiebung um ​  4ac – b 2 __ 4a  ​ parallel zur 2. Achse. Bei jedem Schritt geht eine Parabel wieder in eine Parabel über. (Beachte dazu die Aufgabe 7.146!) Somit ist auch der Graph von f eine Parabel. 2. Fall: a < 0: Es gilt f(x) = – (– ax 2 – bx – c) mit – a > 0. Die dem Klammerausdruck entsprechende Parabel wird an der 1. Achse gespiegelt und geht wieder in eine Parabel über.  7.146 Zeige: Wird eine Parabel in 2. Hauptlage mit dem Faktor a > 1 normal zur 1. Achse gestreckt bzw. mit dem Faktor 0 < a < 1 gestaucht, entsteht wieder eine Parabel in 2. Hauptlage. Lösung: Die Parabel mit der Gleichung x 2 = 2py bzw. y = ​  x 2 _  2p ​geht bei der Streckung bzw. Stauchung über in eine Kurve mit der Gleichung y = a · ​  x 2 _  2p ​bzw. x 2 = 2 ​  p _ a ​y . Dies ist eine Parabel mit dem Parameter ​  p _ a ​ . 0 ® F x y Ó  Lernapplet cy97py Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv