Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

160 7 Ellipse, Hyperbel und Parabel Gleichung einer Parabel Wir betrachten zuerst eine Parabel in 1. Hauptlage . Aus der nebenstehenden Abbildung erkennt man: F = 2      p _ 2   1  0  3 . Ein Punkt X = (x 1 y) liegt genau dann auf der Parabel, wenn gilt: _ FX= _ X ® Wegen _  À  FX= 2  x –   p _ 2   1  y  3 und _ X ® = x +   p _ 2 ist dies äquivalent zu: 9 ______ 2  x –   p _ 2   3 2 + y 2 = x +   p _ 2 Da beide Seiten dieser Gleichung positiv sind, erhält man durch Quadrieren eine äquivalente Gleichung: 2  x –   p _  2 3 2 + y 2 = 2  x +   p _ 2   3 2 x 2 – px +   p 2 _ 4  + y 2 = x 2 + px +   p 2 _ 4  y 2 = 2px Eine Parabel in 2. Hauptlage geht aus einer Parabel in 1. Hauptlage durch eine Spiegelung an der 1. Mediane hervor, dh. in der Gleichung y 2 = 2px werden x und y vertauscht: x 2 = 2py Insgesamt haben wir bewiesen: Satz Für eine Parabel par mit dem Parameter p gilt: 1. Hauptlage: (x 1 y) * par É y 2 = 2px 2. Hauptlage: (x 1 y) * par É x 2 = 2py Eine Parabel kann als Punktmenge so dargestellt werden: Parabel in R 2 in 1. Hauptlage = {(x 1 y) * R 2 ‡ y 2 = 2px} Parabel in R 2 in 2. Hauptlage = {(x 1 y) * R 2 ‡ x 2 = 2py} Aufgaben Grundkompetenzen Parabeln in 1. Hauptlage 7.136 Von einer Parabel in 1. Hauptlage kennt man den Parameter p. Stelle eine Gleichung der Parabel auf und gib den Scheitel sowie zwei weitere Punkte auf der Parabel an! a) p = 3 b) p = 4 c) p = 0,5 d) p = 0,25 e) p = 10 f) p = 0,2 7.137 Eine Parabel in 1. Hauptlage geht durch den Punkt P. Ermittle eine Gleichung der Parabel und gib den Brennpunkt an! a) P = (2 1 – 5) b) P = (1 1 4) c) P = (3 1 4) d) P = (1 1 – 2) e) P = (3 1 – 6) f) P = (1 1 3) 7.138 Gib eine Gleichung der Parabel in 1. Hauptlage mit folgender Leitlinie ® an! a) ® : x = – 4 b) ® : x + 3 = 0 c) ® : x = –8 d) ® : x = – 4,5 7.139 Gib eine Gleichung der Parabel in 1. Hauptlage mit dem Brennpunkt F an! a) F = (2 1 0) b) F = (5 1 0) c) F = (1 1 0) d) F liegt auf der Geraden 5x + 4y = 15. 7.140 Wie lautet der Brennpunkt der Parabel in 1. Hauptlage mit der folgenden Gleichung? a) y 2 = 10x b) y 2 = x c) y 2 – 3x = 0 d) 2y 2 – 5x = 0 y x 0 X ® F p 2 p 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv