Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

16 2 Grundbegriffe der Differentialrechnung Ist z sehr nahe bei x, dann gilt: f’(x) = ​ lim  z ¥ x​ ​​  f(z) – f(x) __  z – x  ​≈ ​  f(z) – f(x) __ z – x  ​ Man kann sich unter dem Differentialquotienten an der Stelle x näherungsweise einen Differenzenquotienten in einer sehr kleinen Umgebung von x vorstellen. Aufgaben Grundkompetenzen 2.04 Die nebenstehende Tabelle ist ein Auszug aus dem Fahrplan des Intercityzuges ÖBB IC 534. Berechne die mittlere Geschwindigkeit des Zuges zwischen Klagenfurt und Bruck an der Mur sowie zwischen Bruck an der Mur und Wien Meidling! In welchem dieser Streckenabschnitte fährt der Zug im Mittel schneller? 2.05 In der Tabelle sind die zu verschiedenen Uhrzeiten t eines Tages gemessenen Lufttemperaturen einge- tragen. 1) Die Temperatur hat in den Zeitintervallen [8; 12] und [12; 14] jeweils um 4° C zugenommen. Kann man deshalb sagen, dass die Temperatur in beiden Zeitintervallen gleich schnell zugenommen hat? Begründe die Antwort! 2) In welchem der beiden Zeitintervalle hat die Temperatur im Mittel schneller zugenommen? 2.06 Gegeben ist eine Zeit-Ort-Funktion s: t ¦ s(t) und ein Zeitintervall [t 1  ; t 2  ]. Was ist richtig?  Die mittlere Geschwindigkeit in [t 1  ; t 2  ] ist die Ortszunahme in [t 1  ; t 2  ].  Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t ist die Änderungsrate von s an der Stelle t.  Die mittlere Geschwindigkeit in [t 1  ; t 2  ] ist die mittlere Änderungsrate von s in [t 1  ; t 2  ].  Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t ist der Differenzenquotient von s in [t 1  ; t 2  ]. 2.07 Für den Weg s(t), den ein Körper beim freien Fall im Zeitintervall [0; t] zurücklegt, gilt näherungs- weise s(t) = 5t 2 (t in Sekunden, s in Meter). 1) Stelle eine Formel für die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t beim freien Fall auf! 2) Wächst auch die Geschwindigkeit v(t) mit fortschreitender Zeit t quadratisch? 3) Berechne v(t) für t = 0, 1, 2, 3, 4, 5 und lege eine Tabelle an! 2.08 Berechne die mittlere Änderungsrate von f im angegebenen Intervall! a) f: x ¦ 3x 2 , [1; 5] c) f: x ¦ x 2 – x, [0; 5] e) f: x ¦ ​  2 _ x ​ , [– 5; – 2] b) f: x ¦ 2x – 1, [– 2; 4] d) f: x ¦ x 3 , [2; 8] f) f: x ¦ ​  1 _  x 2 ​ , [10; 20] 2.09 Gib den Differenzenquotienten der nachstehenden Funktion im angegebenen Intervall an! a) x ¦ f(x), [b; b + h] c) t ¦ N(t), [t 0  ; t 0 + 1] e) r ¦ u(r), [a – 1; a] b) r ¦ A(r), [r 1  ; r 2  ] d) z ¦ y(z), [– z 0  ; z 0  ] f) s ¦ g(s), [0; s 0  ] 2.10 Schreibe den Differenzenquotienten der Funktion f im angegebenen Intervall an und vereinfache das Ergebnis! a) f(x) = x 2 , [a; a + h] b) f(t) = ​  1 _ t ​ , [t 0  ; t 1  ] c) f(y) = ​  y _  y + 1  ​ , [y 1  ; y 2  ] Bahnhof an ab km Klagenfurt 7.39 0 Bruck a.d. Mur 9.44 9.46 174 Wien Meidling 11.28 330 Ó Uhrzeit t Temperatur T(t) in °C 8 9 12 13 14 17 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv