Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

158 7 Ellipse, Hyperbel und Parabel 7.124 Von einer Hyperbel in 1. Hauptlage kennt man die Punkte P und Q. Die Tangente in P schneidet die Asymptoten in den Punkten P 1 und P 2 , die Tangente in Q in den Punkten Q 1 und Q 2 . Zeige, dass P 1 , P 2 , Q 1 und Q 2 Eckpunkte eines Trapezes sind und berechne den Flächeninhalt dieses Trapezes! a) P = (3 1 – 2), Q = (4,5 1 7) b) P = (–7 1 1), Q = (8 1 4) c) P = (5 1 3), Q = (7 1 –15) 7.125 Eine Tangente an eine Hyperbel in 1. Hauptlage berühre die Hyperbel im Punkt P und schneide die Asymptoten der Hyperbel in den Punkten P 1 und P 2 . Beweise: 1) P halbiert die Strecke P 1 P 2 . 2) Das Dreieck OP 2 P 1 hat für jede Lage von P denselben Flächeninhalt. 7.126 Die Tangente im Punkt P = (p 1 1 p 2 ) der gleichseitigen Hyperbel x 2 – y 2 = a 2 schneidet die Asymptoten in den Punkten P 1 und P 2 . Die Normale auf die Tangente durch P schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten N 1 und N 2 . Bestimme P 1 , P 2 , N 1 und N 2 und zeige: 1) P 1 , P 2 , F und F’ liegen auf einem Kreis k mit Mittelpunkt N 2 . 2) P 1 , P 2 , N 1 und N 2 sind Eckpunkte eines Quadrats, dessen Umkreis k’ durch O = (0 1 0) verläuft. Tangenten aus einem Punkt an eine Hyperbel 7.127 Ermittle Gleichungen der Tangenten an die Hyperbel hyp aus dem Punkt Q! a) hyp: 4x 2 – 3y 2 = 24, Q = (4 1 4) d) hyp: x 2 – 4y 2 = 45, Q = (– 3 1 – 6) b) hyp: 2x 2 – 5y 2 = 27, Q = (– 9 1 9) e) hyp: 2x 2 – y 2 = 62, Q = (4 1 1) c) hyp: 3x 2 – y 2 = 44, Q = (– 2 1 10) f) hyp: 8x 2 – 5y 2 = 108, Q = (– 9 1 –18) Hinweis: Gehe wie bei der Ellipse vor (Aufgabe 7.63)! 7.128 Gib Gleichungen der Tangenten an die Hyperbel b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 an, die aus dem Punkt a) B = (0 1 b), b) Q = 2      a _  2   1  0  3 , c) Q = (a 1 b), d) Q = (2a 1 2b) verlaufen! Hinweis: Gehe wie bei der Ellipse vor (Aufgabe 7.63)! 7.129 Gegeben sei eine Hyperbel in 1. Hauptlage. Kann man aus jedem Punkt Q Tangenten an die Hyperbel legen? Begründe die Antwort! Tangenten mit vorgegebener Richtung 7.130 Ermittle Gleichungen der Tangenten an die Hyperbel hyp, die den Richtungsvektor _  À  ghaben, und gib die Berührpunkte an! a) hyp: 2x 2 – y 2 = 14, _  À  g= (1 1 3) c) hyp: x 2 – 9y 2 = 288, _  À  g= (1 1 –1) b) hyp: 4x 2 – 25y 2 = 300, _  À  g= (5 1 – 4) d) hyp: 2x 2 – 3y 2 = 15, _  À  g= (7 1 6) 7.131 Ermittle Gleichungen der Tangenten an die Hyperbel hyp, die zur Geraden g parallel sind! a) hyp: 8x 2 – 5y 2 = 120, g: 2x – y = 3 c) hyp: 5x 2 – 4y 2 = 16, g: (x 1 y) = t · (4 1 5) b) hyp: x 2 – y 2 = 24, g: 5x – y = 1 d) hyp: x 2 – y 2 = 16, g: (x 1 y) = t · (3 1 5) 7.132 Ermittle Gleichungen der Tangenten an die Hyperbel hyp, die zur Geraden g normal sind! a) hyp: 3x 2 – 4y 2 = 156, g: x – 2y = 5 c) hyp: 9x 2 – 4y 2 = 320, g: 4x + 9y = 18 b) hyp: 5x 2 – 2y 2 = 270, g: x + 2y = 27 d) hyp: x 2 – 3y 2 = 33, g: 4x – 3y = 24 7.133 Die Tangenten an die Hyperbel hyp aus dem Punkt Q haben die Berührpunkte P 1 und P 2 . Ermittle jene Tangenten der Hyperbel, die zur Geraden P 1 P 2 parallel sind! a) hyp: x 2 – 3y 2 = 33, Q = (3 1 0,5) b) hyp: 4x 2 – y 2 = 135, Q = (3,6 1 –1,8) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv