Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

157 7.4 Hyperbel und Gerade Tangente in einem Punkt einer Hyperbel Definition Eine Gerade t, die mit einer Hyperbel nur den Punkt P gemeinsam hat und nicht parallel zu einer Asymptote ist, bezeichnet man als Tangente an die Hyperbel im Punkt P. Analog zur Ellipse kann man beweisen: Satz Spaltform der Tangentengleichung einer Hyperbel: Eine Gleichung der Tangente in einem Punkt P = (p 1 1 p 2 ) der Hyperbel b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 lautet: b 2 p 1 x – a 2 p 2 y = a 2 b 2 Merke Die Spaltform der Tangentengleichung entsteht aus der Hyperbelgleichung b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 durch „Aufspaltung“ von x 2 = x · x in p 1 · x und von y 2 = y · y in p 2 · y : hyp: b 2 · x · x – a 2 · y · y = a 2 b 2 1223425 1223425 ↓ ↓ t: b 2 · p 1 · x – a 2 · p 2 · y = a 2 b 2 Aufgaben Grundkompetenzen 7.118 Gib eine Gleichung der Tangente t im Punkt P der Hyperbel hyp an! a) hyp: x 2 – 3y 2 = 6, P = (3 1 p 2 ) mit p 2 > 0 d) hyp: 2x 2 – 3y 2 = 45, P = (p 1 1 3) mit p 1 < 0 b) hyp: 5x 2 – 2y 2 = 18, P = (6 1 p 2 ) mit p 2 < 0 e) hyp: 3x 2 – 4y 2 = 176, P = (p 1 1 2) mit p 1 > 0 c) hyp: 9x 2 – 4y 2 = 128, P = (– 4 1 p 2 ) mit p 2 < 0 f) hyp: 4x 2 – 9y 2 = 36, P = (p 1 1 0) mit p 1 > 0 Aufgaben Vertiefung 7.119 Sei P = (p 1 1 p 2 ) ein Punkt der Hyperbel hyp: b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 . Zeige, dass hyp mit der Geraden t: b 2 p 1 x – a 2 p 2 y = a 2 b 2 genau den Punkt P gemeinsam hat und zu keiner Asymptote parallel ist! 7.120 Zeige, dass die Tangente im Hyperbelpunkt P Winkelsymmetrale der Geraden PF und PF’ ist! a) hyp: 3x 2 – 2y 2 = 30, P = (4 1 3) c) hyp: x 2 – y 2 = 72, P = (9 1 3) b) hyp: 4x 2 – y 2 = 80, P = (6 1 – 8) d) hyp: 48x 2 – y 2 = 192, P = (– 4 1 – 24) 7.121 Welche Beziehung muss zwischen a, b, k und d bestehen, damit die Gerade g: y = k · x + d Tangente der Hyperbel hyp: b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 ist? 7.122 Die Tangente im Punkt P der gegebenen Hyperbel b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 schneidet die 1. Achse in einem Punkt T 1 und die 2. Achse in einem Punkt T 2 . Die Normale auf die Tangente durch den Punkt P schneidet die 1. Achse in einem Punkt N 1 und die 2. Achse in N 2 . Zeige, dass P die Strecke N 1 N 2 im Verhältnis b 2 : a 2 teilt! Zeige weiters, dass die Punkte P, T 2 , N 2 und die Brennpunkte F und F’ auf einem Kreis liegen! a) hyp: x 2 – 2y 2 = 14, P = (4 1 1) b) hyp: 3x 2 – 4y 2 = 156, P = (8 1 3) c) hyp: x 2 – y 2 = 12, P = (4 1 2) 7.123 Von einer Hyperbel in 1. Hauptlage sind die Gleichung einer Tangente t sowie der Berührpunkt P gegeben. Ermittle eine Gleichung der Hyperbel! a) t: x – y = 3, P = (4 1 p 2 ) c) t: 9x – 8y = 2, P = (18 1 p 2 ) b) t: 5x – 6y = –1, P = (p 1 1 –1) d) t: 10x – 3y = 17, P = (p 1 1 1) t P Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv