Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

156 1. A. A B x F E C O y 2p 2p + u 2p + u 2a D u 7.4 Hyperbel und Gerade Schnitt von Hyperbel und Gerade 7.112 Berechne die Schnittpunkte der Hyperbel hyp: 4x 2 – y 2 = 60 und der Geraden g: 3x – y = 10! Lösung: Für einen Schnittpunkt X = (x 1 y) muss gelten: ​ {  ​  4x 2 – y 2 = 60 3x   – y     =  10 ​ ​ ​ Aus der zweiten Gleichung erhält man: y = 3x – 10 Einsetzen in die erste Gleichung ergibt: 4x 2 – (3x – 10) 2 = 60 Vereinfachen dieser Gleichung liefert: x 2 – 12x + 32 = 0 (Rechne nach!) Daraus ergibt sich: x = 8  =  x = 4 und somit y = 14  =  y = 2 Somit lauten die Schnittpunkte: X 1 = (8 1 14) und X 2 = (4 1 2) Aufgaben Grundkompetenzen 7.113 Berechne die Schnittpunkte der Hyperbel hyp und der Geraden g! a) hyp: 8x 2 – 5y 2 = 108, g: 2x – y = 6 b) hyp: 5x 2 – 2y 2 = 27, g: 5x + 4y = – 3 c) hyp: 7x 2 – 2y 2 = 143, g: x + 2y = 13 d) hyp: 4x 2 – 3y 2 = 88, g = PQ mit P = (– 8 1 – 4), Q = (10 1 8) e) hyp: 2x 2 – 3y 2 = 45, g = PQ mit P = (3 1 – 3), Q = (– 9 1 5) f) hyp: x 2 – 3y 2 = 6, g = PQ mit P = (6 1 3), Q = (– 3 1 – 3) Aufgaben Vertiefung 7.114 Die Gerade g schneidet die Hyperbel hyp in zwei Punkten P und Q. Unter welchem Winkel erscheint die Strecke PQ von O aus? a) hyp: 2x 2 – y 2 = 4, g: x = 2 b) hyp: 36x 2 – y 2 = 36, g: 18x – y ​ 9 _ 3​= 18 7.115 Berechne den Flächeninhalt des Vierecks, dessen Eckpunkte die Schnittpunkte der Geraden g und h mit der Hyperbel hyp sind! a) hyp: 4x 2 – y 2 = 135, g: 3x – y = 15, h: 4x + y = 21 b) hyp: x 2 – y 2 = 96, g: x – 5y = – 36, h: x + 7y = –24 c) hyp: 9x 2 – y 2 = 80, g: 7x – y = 30, h: x – y = – 4 7.116 Die Gerade g schneidet die Hyperbel hyp in zwei Punkten P und Q und die Asymptoten der Hyperbel in zwei Punkten S 1 und S 2  . Zeige, dass ​ _ PS 1 ​= ​ _ QS 2 ​ist! a) hyp: 4x 2 – y 2 = 192, g: 2x + 3y = 8 d) hyp: x 2 – 4y 2 = 33, g: 3x – 5y = 11 b) hyp: 9x 2 – y 2 = 135, g: 2x – y = 5 e) hyp: x 2 – y 2 = 63, g: 2x + 5y = 21 c) hyp: 9x 2 – 4y 2 = 320, g: 7x – 2y = 40 f) hyp: 25x 2 – 4y 2 = 144, g: x – 2y = –12 7.117 Für welche a * R hat die Gerade g mit der Hyperbel hyp zwei Punkte, genau einen Punkt bzw. keinen Punkt gemeinsam? Falls g mit hyp genau einen Punkt gemeinsam hat, gib diesen Punkt an! a) g: ax + 2y = 12, hyp: 3x 2 – 4y 2 = 72 d) g: ax – 7y = 43, hyp: 2x 2 – 7y 2 = 43 b) g: 10x – ay = 2, hyp: 5x 2 – 2y 2 = 2 e) g: ax + 3y = 2, hyp: x 2 – 3y 2 = 2 c) g: 5x – ay = 24, hyp: x 2 – y 2 = 24 f) g: 8x + ay = 11, hyp: 4x 2 – 5y 2 = 11 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv