Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

155 7.3 Die Hyperbel Satz Die Äste einer Hyperbel kommen den Asymptoten beliebig nahe, ohne diese jemals zu berühren. Beweis: Wir zeigen dies zunächst für den im 1. Quadranten liegenden Teil des rechten Hyperbelastes. Sei X = (x 1 y) ein Punkt auf diesem Hyperbelteil und _ X= (x 1 _ y) der dazugehörige Punkt auf der Asymptote u. Es ist _ y=   b _ a · x und y =   b _  a · 9 ____ x 2 – a 2 . (Rechne nach!) Daraus folgt: _ y– y =   b _ a · 2 x – 9 ____ x 2 – a 2   3 . Mit wachsendem x nähert sich 9 ____ x 2 – a 2 unbegrenzt der Zahl x (weil a 2 im Verhältnis zu x 2 immer weniger ausmacht) und somit _ y– y unbegrenzt der Zahl 0. Daher nähert sich y unbegrenzt der Zahl _ y. Der Hyperbelast kommt also der Asymptote u beliebig nahe. Da aber stets   b _ a · 2 x – 9 ____ x 2 – a 2   3 > 0 ist, berührt der Hyperbelast die Asymptote u nie. Aus Symmetriegründen nähert sich die Hyperbel auch in den anderen Quadranten der entsprechenden Asymptote.  Aufgaben Grundkompetenzen 7.105 Die Asymptoten stellen eine große Hilfe beim Zeichnen einer Hyperbel dar. Zeichne zuerst das Achsenrechteck, dann die Asymptoten und anschließend die Hyperbel! a) x 2 – y 2 = 9 b) 4x 2 – 9y 2 = 36 c) 9x 2 – 4y 2 = 36 7.106 Gib Gleichungen der Asymptoten der folgenden Hyperbel an! a) 9x 2 – 25y 2 = 900 b) 2x 2 – 8y 2 = 1 c) 3x 2 – 6y 2 = 1 d) x 2 – y 2 = 25 7.107 Von einer Hyperbel in 1. Hauptlage kennt man eine Gleichung einer Asymptote und eine Halbachsenlänge. Ermittle eine Gleichung der Hyperbel! a) 4x – 3y = 0, a = 2 b) 2x + y = 0, a = 4 c) 3x + 2y = 0, b = 6 d) x – y = 0, b = 4 Aufgaben Vertiefung 7.108 Ermittle Gleichungen der Asymptoten der Hyperbel hyp und das Winkelmaß der beiden Asymptoten! a) hyp: 4x 2 – 9y 2 = 144 b) hyp: 16x 2 – y 2 = 16 c) hyp: x 2 – y 2 = 36 7.109 Von einer Hyperbel in 1. Hauptlage kennt man eine Gleichung einer Asymptote und die lineare Exzentrizität e. Ermittle die Scheitel sowie die Brennpunkte der Hyperbel und stelle eine Gleichung der Hyperbel auf! a) 2x – y = 0, e = 5 b) x + y = 0, e = 4 c) y = 2x, e = 9 __ 20 d) x 9 _ 3– y = 0, e = 4 9 _ 3 7.110 Von einer Hyperbel in 1. Hauptlage kennt man den Punkt P und eine Asymptote u. Stelle eine Gleichung der Hyperbel auf! a) P = (3 9 __ 10 1 2), u: 2x – 3y = 0 b) P = (12 1 0), u: 5x – 4y = 0 7.111 Die Asymptoten der Hyperbel b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 und die Parallelen zu den Asymptoten durch einen beliebigen Hyperbelpunkt P = (p 1 1 p 2 ) begrenzen ein Parallelogramm. Zeige, dass dieses Parallelogramm für jede Lage von P denselben Flächeninhalt hat! y y x X X b v u a Ó Lernapplet fs5uw8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv