Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

154 7 Ellipse, Hyperbel und Parabel 7.96 Von einer Hyperbel in 1. Hauptlage kennt man die Halbachsenlänge a = 2 und den Brennpunkt F = (4 1 0). Welche Punkte dieser Hyperbel haben von F den Abstand d? a) d = 4 c) d = 10 b) d = 6 d) d = 26 7.97 Ermittle eine Gleichung der Hyperbel, von der die Brennpunkte F = (10 1 0) und F’ = – F sowie a = 5 gegeben sind! Berechne alle Hyperbelpunkte, die vom Ursprung den Abstand 11 haben! 7.98 Für welche Punkte der Hyperbel hyp ist die Summe der Abstände von den Brennpunkten gleich d? a) hyp: 3x 2 – y 2 = 3, d = 28 b) hyp: 8x 2 – y 2 = 8, d = 18 c) hyp: 5x 2 – 4y 2 = 20, d = 54 7.99 Von einer Hyperbel in 1. Hauptlage kennt man a und e. Ermittle alle Punkte X der Hyperbel, für die _  À  FXund _  À  F’Xnormal zueinander sind! a) a = 9 _ 5und e = 5 b) a = 5 und e = 25 7.100 Ermittle alle Punkte X = (x 1 y) der Hyperbel hyp mit dem angegebenen Verhältnis _ XF: _ XF’! a) hyp: 4x 2 – y 2 = 180, _ XF: _ XF’= 2 : 1 b) hyp: x 2 – y 2 = 72, _ XF: _ XF’= 1 : 5 7.101 Ermittle jene Punkte der Hyperbel hyp, die Eckpunkte eines achsenparallelen Rechtecks mit dem Umfang u sind! a) hyp: x 2 – y 2 = 105, u = 60 b) hyp: 3x 2 – y 2 = 44, u = 56 c) hyp: 7x 2 – 2y 2 = 325, u = 80 7.102 Wie groß ist der Flächeninhalt des achsenparallelen Quadrats, dessen Eckpunkte auf der Hyperbel hyp liegen? a) hyp: 5x 2 – 3y 2 = 8 b) hyp: 25x 2 – 9y 2 = 400 c) hyp: 9x 2 – 4y 2 = 405 7.103 Wie groß ist der Flächeninhalt des achsenparallelen Rechtecks, das durch die Brennpunkte F und F’ der Hyperbel hyp geht und dessen Eckpunkte auf der Hyperbel liegen? a) hyp: 5x 2 – 4y 2 = 80 b) hyp: 15x 2 – y 2 = 15 7.104 Drücke allgemein den Flächeninhalt des achsenparallelen Rechtecks, das durch die Brennpunkte F und F’ der Hyperbel hyp: b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 geht und dessen Eckpunkte auf der Hyperbel liegen, durch a und b aus! Gleichungen der Asymptoten einer Hyperbel Gegeben sei eine Hyperbel hyp: b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 . Die Asymptoten u und v der Hyperbel haben die Steigungen   b _  a bzw. –   b _ a . Somit erhalten wir folgende Gleichungen der Asymptoten: u: y =   b _  a · x v: y = –   b _ a · x Satz Gleichungen der Asymptoten der Hyperbel b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 sind: y =   b _ a · x und y = –   b _ a · x a B y b v u B' A' A x Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv