Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

151 2. A. 1. A. A B x F E C O G x y y y 2p 2p + u 2p + u 2a P D u 7.3 Die Hyperbel Aus der letzten Abbildung erkennt man: Satz Für eine Hyperbel mit den Halbachsenlängen a und b und der Brennweite e gilt: e 2 = a 2 + b 2 Aufgaben Grundkompetenzen 7.71 Wie groß ist die Nebenachsenlänge einer Hyperbel mit der Hauptachsenlänge 12 und der Brennweite 10? 7.72 Zeichne eine Hyperbel mit folgenden Angaben! Das Einzeichnen der Asymptoten erleichtert die Zeichnung. a) a = 3, b = 4 c) a = 4, b = 3 e) b = 2, e = 5 b) a = 3, b = 3 d) a = 2, e = 4 f) a = 2, b = 6 7.73 Von einer Hyperbel kennt man die Brennpunkte F und F’ sowie einen Punkt auf der Hyperbel. Zeichne die Hyperbel! a) F = (3,2 1 0), F’ = – F, P = (6,2 1 4) b) F = (2 1 0), F’ = – F, P = (5 1 3) 7.74 Für eine Ellipse gilt stets a º b. Muss dies auch für eine Hyperbel gelten? Hauptlagen einer Hyperbel in einem Koordinatensystem 1. Hauptlage: Mittelpunkt M im Ursprung, Brennpunkte F und F’ auf der 1. Achse 2. Hauptlage: Mittelpunkt M im Ursprung, Brenn- punkte F und F’ auf der 2. Achse a e F' F B y x X b B' A' AM A = (a 1 0) A’ = (– a 1 0) B = (0 1 b) B’ = (0 1 –b) F = (e 1 0) F’ = (– e 1 0) a e F' F B' y x X b B A' A M A = (0 1 a) A’ = (0 1 – a) B = (b 1 0) B’ = (–b 1 0) F = (0 1 e) F’ = (0 1 – e) Gleichung einer Hyperbel Analog zur Ellipse kann man für eine Hyperbel herleiten: Satz Für eine Hyperbel hyp mit den Halbachsenlängen a und b gilt: 1. Hauptlage: (x 1 y) * hyp É b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 É   x 2 _ a 2 –   y 2 _  b 2 = 1 2. Hauptlage: (x 1 y) * hyp É – a 2 x 2 + b 2 y 2 = a 2 b 2 É –   x 2 _ b 2 +   y 2 _  a 2 = 1 Eine Hyperbel kann als Punktmenge so dargestellt werden: Hyperbel in R 2 in 1. Hauptlage: hyp = {(x 1 y) * R 2 ‡ b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 } = {  (x 1 y) * R 2   1    x 2 _ a 2   –   y 2 _  b 2 = 1  } Hyperbel in R 2 in 2. Hauptlage: hyp = {(x 1 y) * R 2 ‡ – a 2 x 2 + b 2 y 2 = a 2 b 2 } = {  (x 1 y) * R 2   1  –   x 2 _  b 2   +   y 2 _  a 2 = 1  } Nur zu Prüfzwecken – Ei entum des Verlags öbv