Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

150 1. A. A B x F E C O y 2p 2p + u 2p + u 2a D u 7.3 Die Hyperbel Definition der Hyperbel Eine Hyperbel ist ähnlich definiert wie eine Ellipse. Definition Eine Hyperbel hyp ist die Menge aller Punkte einer Ebene, für die der Unterschied (Betrag der Differenz) der Abstände von zwei gegebenen Punkten F und F’ konstant (= 2a < ​ _ FF’​) ist. hyp = {X * ​R​ 2 ​ ‡ †​ _ FX​– ​ _ F’X​ † = 2a} Konstruktion mit Zirkel und Lineal Eine Hyperbel hyp = {X * R 2 ‡ †​ _ FX​– ​ _ F’X​ † = 2a} kann in folgenden Schritten konstruiert werden: „„ Zeichne die Punkte F und F’! „„ Zeichne eine Hilfsstrecke UV der Länge 2a! „„ Wähle auf der Verlängerung dieser Strecke einen Punkt T! Man erhält zwei Strecken VT und UT mit den Längen d und 2a + d. „„ Schlage diese beiden Längen jeweils von F und von F’ aus mit dem Zirkel ab! Man erhält vier Schnittpunkte X, X’, Y, Y’. Für jeden dieser Schnittpunkte ist der Betrag der Differenz der Abstände von F bzw. F’ gleich † (2a + d) – d † = 2a. Diese vier Punkte liegen also auf der Hyperbel. „„ Konstruiere für andere Lagen des Punktes T analog weitere Hyperbelpunkte! Hinweis: Die Punkte T dürfen nicht zu nahe bei V liegen. An der Konstruktion erkennt man, dass die Hyperbel in zwei Teile (Äste) zerfällt. Die Punkte A und A’ auf der Strecke FF’, die vom Mittelpunkt M dieser Strecke den Abstand a haben, liegen ebenfalls auf der Hyperbel, denn es gilt: ​ _ F’A​– ​ _ FA​= (​ _ F’M​+ ​ _ MA​) – (​ _ FM​– ​ _ MA​) = (​ _ FM​+ ​ _ MA​) – (​ _ FM​– ​ _ MA​) = 2 · ​ _ MA​= 2a ​ _ FA’​– ​ _ F’A’​= (​ _ FM​+ ​ _ MA’​) – (​ _ F’M​– ​ _ MA’​) = (​ _ FM​+ ​ _ MA’​) – (​ _ FM​– ​ _ MA’​) = 2 · ​ _ MA’​= 2a Wir legen weiters durch M eine Normale auf die Gerade A’A und betrachten auf dieser Normalen die Punkte B und B’, die von A den Abstand e haben. Den Abstand dieser Punkte von M bezeichnen wir mit b. Das achsenparallele Rechteck durch A, A’, B und B’ nennt man Achsenrechteck der Hyperbel, die Diagonalgeraden dieses Rechtecks heißen Asymptoten der Hyperbel. Bezeichnungen bei einer Hyperbel: F und F’ . . Brennpunkte Strecke AA’ . . Hauptachse M . . . . Mittelpunkt Strecke BB’ . . Nebenachse A und A’ . . Hauptscheitel ​ _ AA’​= 2a . . . Hauptachsenlänge B und B’ . . . Nebenscheitel ​ _ BB’​= 2b . . . Nebenachsenlänge ​ _ MA​= ​ _ MA’​= a und ​ _ MB​= ​ _ MB’​= b … Halbachsenlängen ​ _ MF​= ​ _ MF’​= e … Brennweite oder lineare Exzentrizität Bemerkung: Die Punkte B und B’ liegen nicht auf der Hyperbel. Man bezeichnet sie trotzdem als Nebenscheitel der Hyperbel, um die Analogie zur Ellipse zu wahren. Ó ai56pb V T X Y X' Y' F' A' M A F d 2a + d U d 2a 2a + d e a e F' F B b B' A' AM e Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv