Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

15 2.1 Differenzenquotient und Differentialquotient Änderungsrate 2.03 Ein kugelförmiger Ballon vom Radius r hat das Volumen V(r) =   4 π  _ 3  r 3 (r in Dezimeter, V in Kubikdezimeter). Der Ballon wird aufgeblasen. 1) Berechne die Volumszunahme in den Radiusintervallen [1; 2] und [2; 3]! 2) Berechne die mittlere Volumszunahmerate im Radiusintervall [1; 3]! 3) Gib eine Formel für die mittlere Volumszunahmerate im Radius- intervall [r; z] an! 4) Gib eine Formel für die Volumszunahmerate V’(r) beim Radius r an! 5) Wie groß ist die Volumszunahmerate beim Radius 1 bzw. beim Radius 3? Lösung: 1) Volumszunahme im Radiusintervall [1; 2] = V(2) – V(1) =   4 π  _ 3  · 2 3 –   4 π  _  3  · 1 3 =   28 π  _ 3  ≈ 29,32 (dm 3 ) Volumszunahme im Radiusintervall [2; 3] = V(3) – V(2) =   4 π  _ 3  · 3 3 –   4 π  _ 3  · 2 3 =   76 π  _ 3  ≈ 79,59 (dm 3 ) 2) Mittlere Volumszunahmerate im Radiusintervall [1; 3] =   Volumszunahme ___  Radiuszunahme = =   V(3) – V(1) __  3 – 1  =     4 π  _ 3  · 3 3 –   4 π  _ 3  · 1 3 ___ 2  =   4 π  _ 3  ·   3 3 – 1 3 _  2  =   52 π  _ 3  ≈ 54,45 (dm 3 /dm) Das Volumen nimmt im Radiusintervall [1; 3] im Mittel (!) um ca. 54,45dm 3 pro Dezimeter Radius zu (am Anfang weniger, gegen Ende mehr). 3) Mittlere Volumszunahmerate im Radiusintervall [r; z] =   V(z) – V(r) __  z – r  =     4 π  _ 3  z 3 –   4 π  _ 3  r 3 __  z – r  = =   4 π  _ 3  ·   z 3 – r 3 _  z – r  =   4 π  _ 3  ·   (z – r) · (z 2 + z · r + r 2 ) ___  z – r  =   4 π  _ 3  · (z 2 + z · r + r 2 ) für z ≠ r 4) Naheliegenderweise versteht man unter der Volumszunahmerate V’(r) beim Radius r den Grenzwert der mittleren Volumszunahmeraten in immer kleiner werdenden Radius intervallen [r; z]: V’(r) = lim    z ¥ r   V(z) – V(r) __  z – r  = lim  z ¥ r   4 π  _ 3  (z 2 + z · r + r 2 ) Für die Berechnung dieses Limes überlegen wir so: Nähert sich z unbegrenzt der Zahl r, dann nähert sich   4 π  _  3  (z 2 + z · r + r 2 ) unbegrenzt der Zahl   4 π  _ 3  (r 2 + r · r + r 2 ) =   4 π  _  3  · 3r 2 = 4 π r 2 . Also: V’(r) = 4 π r 2 (dm 3 /dm) 5) Für r = 1 ergibt sich: V’(1) = 4 π ≈ 12,57 (dm 3 /dm) Für r = 3 ergibt sich: V’(3) = 36 π ≈ 113,10 (dm 3 /dm) Allgemein definiert man: Definition Es sei f: A ¥ R eine reelle Funktion und [a; b] a A. Die Zahl   f(b) – f(a) __  b – a  heißt Differenzenquotient oder mittlere Änderungsrate von f in [a; b] . Der Grenzwert f’(x) =  lim  z ¥ x   f(z) – f(x) __ z – x  heißt Differentialquotient von f an der Stelle x oder Änderungsrate von f an der Stelle x . Bei positivem Vorzeichen spricht man von (mittleren) Zunahmeraten , bei negativem Vorzeichen von (mittleren) Abnahmeraten . (Mittlere) Änderungsgeschwindigkeiten sind Spezialfälle von (mittleren) Änderungsraten (wenn x die Zeit ist). r z Ó r63vm6 Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv