Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

149 7.2 Ellipse und Gerade Aufgaben Vertiefung 7.64 Ermittle Gleichungen der Tangenten vom Punkt Q aus an die Ellipse ell! a) ell: x 2 + 5y 2 = 54, Q = (12 1 6) c) ell: 2x 2 + 3y 2 = 140, Q = (5 1 10) b) ell: x 2 + 4y 2 = 52, Q = (10 1 –1) d) ell: x 2 + 2y 2 = 132, Q = (–18 1 6) 7.65 1) Ermittle Gleichungen der Tangenten t und t’ vom Punkt Q = (0 1 8) aus an die Ellipse ell: 3x 2 + 4y 2 = 192 und gib die Koordinaten der Berührpunkte P und P’ an! 2) Berechne das Winkelmaß φ von t und t’ sowie den Flächeninhalt des Dreiecks OPP’! Tangenten mit vorgegebener Richtung 7.66 Ermittle Gleichungen jener Tangenten an die Ellipse ell: 3x 2 + y 2 = 4, die parallel zur Geraden g: 3x – y = 2 sind, und gib die Koordinaten der Berührpunkte an! Lösung: Es gibt zwei passende Tangenten t und t’. Gleichung der Tangente t parallel zu g: 3x – y = c, wobei c passend zu bestimmen ist. Bestimmen von c: – Wir schneiden ell und t: {    ell: 3x 2 + y 2 = 4               t:    3x   – y   = c   w y = 3x – c 3x 2 + (3x – c) 2 = 4 w 12x 2 – 6cx + c 2 – 4 = 0 – Da ell und t genau einen Punkt gemeinsam haben, muss die Diskriminante D dieser quadratischen Gleichung gleich null sein: D = 36c 2 – 48 · (c 2 – 4) = 0 w c = ±4 Gleichungen der Tangenten: t: 3x – y = 4 und t’: 3x – y = – 4 Schnitt von t und t’ mit ell liefert die Berührpunkte P = (1 1 –1) und P’ = (–1 1 1). Aufgaben Vertiefung 7.67 Ermittle Gleichungen jener Tangenten an die Ellipse ell, die den Richtungsvektor _  À  ghaben und gib die Berührpunkte an! a) ell: x 2 + 4y 2 = 116, _  À  g= (5 1 –1) c) ell: 3x 2 + 4y 2 = 64, _  À  g= (2 1 – 3) b) ell: 3x 2 + 8y 2 = 200, _  À  g= (1 1 3) d) ell: 9x 2 + 4y 2 = 36, _  À  g= (1 1 0) 7.68 Ermittle Gleichungen jener Tangenten an die Ellipse ell, die normal zur Geraden g sind! a) ell: 3x 2 + 4y 2 = 336, g: 6x + y = 10 c) ell: 8x 2 + 5y 2 = 380, g: X = (1 1 1) + t · (4 1 3) b) ell: x 2 + 2y 2 = 99, g: 2x – 3y = 15 d) ell: 3x 2 + y 2 = 148, g: X = (2 1 9) + t · (– 6 1 5) 7.69 Ermittle Gleichungen jener Tangenten an die Ellipse a) ell: x 2 + 9y 2 = 36, b) ell: 4x 2 + 9y 2 = 288, die parallel zu denjenigen Geraden sind, die jeweils durch einen Haupt- und einen Nebenscheitel gehen! Berechne auch die Koordinaten der Berührpunkte! 7.70 Von einer Ellipse in 1. Hauptlage kennt man die Punkte P und Q. Der Punkt R sei jener Punkt auf der Ellipse, für den der Flächeninhalt des Dreiecks PQR maximal ist. Begründe ohne zu rechnen, dass die Tangente in R zur Geraden PQ parallel sein muss und ermittle R! a) P = (– 8 1 4), Q = (10 1 2) b) P = (– 2 1 7), Q = (– 6 1 – 5) c) P = (–12 1 – 3), Q = (8 1 – 5) 0 1 2 3 x y 1 g t' t ell P P' Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv