Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

148 7 Ellipse, Hyperbel und Parabel Aufgaben Vertiefung 7.58 Ermittle den Flächeninhalt des Dreiecks, das die Tangente im Ellipsenpunkt P mit den positiven Koordinatenachsen einschließt! a) ell: x 2 + 3y 2 = 84, P = (6 1 4) b) ell: x 2 + 4y 2 = 360, P = (18 1 3) 7.59 Von einer Ellipse in 1. Hauptlage sind eine Gleichung der Tangente t sowie der Berührungs- punkt P gegeben. Ermittle eine Gleichung der Ellipse! a) t: x + 4y = 18, P = (2 1 p 2 ) c) t: 4x + 9y = 75, P = (p 1  1 3) b) t: – x + 5y = 28, P = (– 3 1 p 2 ) d) t: 4x + 5y = 13, P = (p 1  1 1) 7.60 Die Tangente im Punkt P der Ellipse ell schneidet die beiden Ellipsentangenten, die durch die Hauptscheitel A und A’ gehen, in den Punkten S und S’. Berechne S und S’ und zeige, dass S, S’ und die Brennpunkte F und F’ der Ellipse auf einem Kreis liegen! a) ell: 3x 2 + 4y 2 = 48, P = (2 1 3) b) ell: x 2 + 2y 2 = 144, P = (– 4 1 8) 7.61 Zeige, dass die Strecken PF und PF’ gleich große Winkel mit der Tangente im Punkt P der Ellipse ell einschließen! a) ell: 4x 2 + 9y 2 = 180, P = (6 1 2) b) ell: x 2 + 2y 2 = 162, P = (8 1 –7) 7.62 Zeige, dass für jeden Punkt P = (p 1  1 p 2 ) der Ellipse ell: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 gilt: 1) Die Punkte Q 1 = ​ 2  p 2  ​  a _ b ​  1  –p 1  ​  b _ a ​  ​ ​  3 ​und Q 2 = ​ 2  –p 2  ​  a _ b ​  1  p 1  ​  b _ a ​  ​ ​  3 ​liegen auf der Ellipse. 2) Richtungsvektoren der Tangenten in Q 1 und Q 2 sind zum Vektor (p 1  1 p 2 ) parallel. 3) Die Punkte Q 1  , Q 2  , P und P’ = (–p 1  1 –p 2 ) bilden ein Parallelogramm mit dem Flächeninhalt 2ab. 4) Die Tangenten in Q 1  , Q 2  , P und P’ bilden ein Parallelogramm mit dem Flächeninhalt 4ab, dessen Eckpunkte auf der Ellipse ell’: b 2 x 2 + a 2 y 2 = 2a 2 b 2 liegen. Tangenten aus einem Punkt an eine Ellipse 7.63 Ermittle Gleichungen der Tangenten aus dem Punkt Q = (5 1 5) an die Ellipse ell: x 2 + 6y 2 = 70! Lösung: „„ Aus Q kann man zwei Tangenten t und t’ mit den Berührpunkten P und P’ an ell legen. „„ Gleichung der Tangente t an die Ellipse ell im Berührpunkt P = (p 1  1 p 2 ): p 1 x + 6p 2 y = 70 � Ermitteln des Berührpunktes P = (p 1  1 p 2 ): ​ {  ​  Q * t    w  5p 1   + 30p 2   = 70  w  p 1 + 6p 2 = 14  w  p 1 = 14 – 6p 2 P * ell  w     p 1 2 +   6p 2 2 = 70  ​ ​ Löse das Gleichungssystem durch Einsetzen von p 1 = 14 – 6p 2 in die zweite Gleichung selbst! Es ergeben sich die beiden Berührpunkte P = (–4 1 3) und P’ = (8 1 1). „„ Ermitteln der Tangentengleichungen: Setzt man die Koordinaten der Berührpunkte P und P’ für die Koeffizienten p 1 und p 2 in die Gleichung p 1 x + 6p 2 y = 70 ein, so erhält man die Tangentengleichungen: t: – 4x + 18y = 70 und t’: 8x + 6y = 70 Vereinfacht: t: 2x – 9y = – 35 und t’: 4x + 3y = 35 0 2 –2 –4 –6 –8 –10 4 6 8 10 x y 2 4 6 –2 –4 –6 ell P Q t' t P' Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv