Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

147 7.2 Ellipse und Gerade Satz Spaltform der Tangentengleichung einer Ellipse: Eine Gleichung der Tangente in einem Punkt P = (p 1 1 p 2 ) der Ellipse b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 lautet: b 2 p 1 x + a 2 p 2 y = a 2 b 2 Merke Die Spaltform der Tangentengleichung entsteht aus der Ellipsengleichung b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 durch „Aufspaltung“ von x 2 = x · x in p 1 · x und von y 2 = y · y in p 2 · y : ell: b 2 · x · x + a 2 · y · y = a 2 b 2 1223425 1223425 ↓ ↓ t: b 2 · p 1 · x + a 2 · p 2 · y = a 2 b 2 Beweis des Satzes: Wir zeigen, dass die Ellipse ell: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 und die Gerade t: b 2 p 1 x + a 2 p 2 y = a 2 b 2 genau den Punkt P = (p 1 1 p 2 ) gemeinsam haben. {    b 2 x 2    + a 2 y 2    = a 2 b 2 b 2 p 1 x + a 2 p 2 y = a 2 b 2 Aus der zweiten Gleichung erhält man: y = –   b 2 p 1 _  a 2 p 2 · x +   b 2 _ p 2 . Setzt man dies in die erste Gleichung ein, erhält man: b 2 x 2 + a 2 · 2    b 4 p 1 2 _ a 4 p 2 2 · x 2 –   2b 4 p 1 _ a 2 p 2 2 · x +   b 4 _  p 2 2   3 – a 2 b 2 = 0 b 2 x 2 +   b 4 p 1 2 _ a 2 p 2 2 · x 2 –   2b 4 p 1 _ p 2 2 · x +   a 2 b 4 _ p 2 2 – a 2 b 2 = 0 | · a 2 p 2 2 a 2 b 2 p 2 2 · x 2 + b 4 p 1 2 · x 2 – 2a 2 b 4 p 1 · x + a 4 b 4 – a 4 b 2 p 2 2 = 0 | : b 2 a 2 p 2 2 · x 2 + b 2 p 1 2 · x 2 – 2a 2 b 2 p 1 · x + a 4 b 2 – a 4 p 2 2 = 0 (b 2 p 1 2 + a 2 p 2 2 )· x 2 – 2a 2 b 2 p 1 · x + a 2 · (a 2 b 2 – a 2 p 2 2 ) = 0 weil P = (p 1 1 p 2 ) * ell 12222222322222225 12222222322222225 a 2 b 2 b 2 p 1 2 a 2 b 2 · x 2 – 2a 2 b 2 p 1 · x + a 2 b 2 p 1 2 = 0 | : a 2 b 2 x 2 – 2p 1 x + p 1 2 = 0 (x – p 1 ) 2 = 0 x = p 1 y = –   b 2 p 1 _ a 2 p 2 · p 1 +   b 2 _  p 2 =   a 2 b 2 – b 2 p 1 2 __  a 2 p 2 =   a 2 p 2 2 _ a 2 p 2 = p 2  7.56 Gegeben ist die Ellipse ell: 2x 2 + 3y 2 = 77. Gib eine Gleichung der Tangente t im Ellipsenpunkt P = (5 1 p 2 ) mit p 2 > 0 an! Lösung: Aus der Ellipsengleichung folgt y = ± 9 ____   77 – 2x 2 __ 3  . Für x = 5 ergibt sich y = ±3. Wegen p 2 > 0 erhält man P = (5 1 3). Eine Gleichung der Tangente in P = (5 1 3) lautet also: t: 2 · 5 · x + 3 · 3 · y = 77 t: 10x + 9y = 77 Aufgaben Grundkompetenzen 7.57 Gib Gleichungen der Tangenten in den Punkten P = (p 1 1 p 2 ) und P’ = (–p 1 1 –p 2 ) der Ellipse ell an! a) ell: x 2 + 5y 2 = 29, P = (3 1 p 2 ) mit p 2 > 0 e) ell: 3x 2 + 7y 2 = 40, P = (p 1 1 2) mit p 1 < 0 b) ell: 2x 2 + 3y 2 = 75, P = (p 1 1 –1) mit p 1 > 0 f) ell: 2x 2 + y 2 = 2, P = (p 1 1 0) mit p 1 > 0 c) ell: 4x 2 + 25y 2 = 200, P = (– 5 1 p 2 ) mit p 2 > 0 g) ell: 4x 2 + 9y 2 = 145, P = (– 4 1 p 2 ) mit p 2 < 0 d) ell: x 2 + 9y 2 = 10, P = (1 1 p 2 ) mit p 2 > 0 h) ell: 3x 2 + 5y 2 = 192, P = (p 1 1 – 6) mit p 1 < 0 Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv