Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

146 7 Ellipse, Hyperbel und Parabel Aufgaben Vertiefung 7.46 Es sei F ein Brennpunkt und B ein Nebenscheitel der Ellipse mit der Gleichung x 2 + 2y 2 = 72. Die Gerade g steht normal auf die Gerade BF und geht durch B. Berechne einen weiteren Punkt von g, der auf der Ellipse liegt! 7.47 Eine Ellipse in 1. Hauptlage besitzt den Nebenscheitel B = (0 1 ​ 9 __ 60​) und die Brennweite ​ 9 __ 30​. Stelle eine Gleichung der Ellipse auf und ermittle die Eckpunkte jenes achsenparallelen Quadrats, dessen Eckpunkte auf der Ellipse liegen! 7.48 Der Ellipse ell wird ein achsenparalleles Rechteck so eingeschrieben, dass die Brennpunkte F und F’ auf Rechtecksseiten liegen. Wie groß ist der Flächeninhalt dieses Rechtecks? 7.49 Die Ellipse ell schneidet von der Geraden g eine Sehne ab. Ermittle die Länge dieser Sehne und den Abstand dieser Sehne vom Mittelpunkt der Ellipse! a) ell: 9x 2 + 16y 2 = 720, g: 3x + 4y = 36 b) ell: 2x 2 + 3y 2 = 275, g: 4x – 3y = 11 7.50 Ermittle die Schnittpunkte der Geraden g mit der Ellipse ell, die Länge der ausgeschnittenen Sehne und den Abstand der Geraden g vom Brennpunkt F der Ellipse! a) g: 2x – y + 10 = 0, ell: 4x 2 + 9y 2 = 180 b) g: 6x – y = 0, ell: 3x 2 + 4y 2 = 588 7.51 Der Punkt P = (p 1  1 4) mit p 1 > 0 liegt auf der Ellipse ell: x 2 + 5y 2 = 180. Ermittle die Brennpunkte F und F’ der Ellipse, stelle Gleichungen der Geraden PF und PF’ auf und berechne die Abstände des Nebenscheitels B von diesen Geraden! 7.52 Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks APQ, wobei P und Q die Schnittpunkte der Geraden g: 3x + 4y = –12 mit der Ellipse ell: 9x 2 + 16y 2 = 3600 sind und A der auf der positiven 1. Achse liegende Hauptscheitel von ell ist! 7.53 Welchen Abstand hat der Mittelpunkt M der Ellipse ell: 4x 2 + 25y 2 = 100 von der Geraden durch die Scheitel A und B? 7.54 Für welche a * R hat die Gerade g mit der Ellipse ell zwei Punkte, genau einen Punkt bzw. keinen Punkt gemeinsam? Falls g mit ell genau einen Punkt gemeinsam hat, gib diesen an! a) g: x – ay = 17, ell: x 2 + 4y 2 = 17 d) g: ax + 2y = 12, ell: 9x 2 + 4y 2 = 72 b) g: – 2x + ay = 20, ell: 4x 2 + 25y 2 = 200 e) g: x + 9y = 10, ell: x 2 + 9y 2 = a c) g: ax – y = 5, ell: 3x 2 + 2y 2 = 30 f) g: 4x + ay = 8, ell: 16x 2 + y 2 = 32 7.55 Ermittle die gegenseitige Lage der Ellipse ell und der Geraden g! a) ell: 12x 2 + y 2 = 16, g: 2x + y = 4 d) ell: x 2 + 3y 2 = 16, g: x + 3y = 8 b) ell: 5x 2 + 2y 2 = 13, g: 5x + 4y = 13 e) ell: 5x 2 + 4y 2 = 20, g: x – 10y = 50 c) ell: 3x 2 + 2y 2 = 7, g: x + y = 10 f) ell: 4x 2 + 9y 2 = 36, g: 2x + 3y = 6 Tangente in einem Punkt einer Ellipse Definition Eine Gerade t, die mit einer Ellipse nur den Punkt P gemeinsam hat, bezeichnet man als Tangente an die Ellipse im Punkt P. y x P t Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv