Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

145 1. A. A B x F E C O y 2p 2p + u 2p + u 2a D u 7.2 Ellipse und Gerade Schnitt von Ellipse und Gerade 7.40 Ermittle die Schnittpunkte der Geraden g: X = (8 1 0) + t · (–4 1 3) mit der Ellipse ell: 9x 2 + 16y 2 = 360! Lösung: Falls es einen Schnittpunkt X = (x 1 y) gibt, liegt dieser auf der Geraden und auf der Ellipse. Wegen X * g gibt es ein t * R , sodass: (x 1 y) = (8 1 0) + t · (– 4 1 3) = (8 – 4t 1 3t) Wegen X * ell muss gelten: 9 · (8 – 4t) 2 + 16 · (3t) 2 = 360 Vereinfachen dieser Gleichung liefert: 4t 2 – 8t + 3 = 0 ( Rechne nach!) Daraus ergibt sich: t = ​  3 _ 2 ​ =  t = ​  1 _ 2 ​ Setzt man t = ​  3 _ 2 ​ =  t = ​  1 _ 2 ​in (x 1 y) = (8 – 4t 1 3t) ein, erhält man: (x 1 y) = (2 1 4,5)  =  (x 1 y) = (6 1 1,5) Somit lauten die Schnittpunkte: X 1 = (2 1 4,5) und X 2 = (6 1 1,5) 7.41 Ermittle die Schnittpunkte der Geraden g: x + 4y = 14 mit der Ellipse ell: 3x 2 + 8y 2 = 140! Lösung: Für einen Schnittpunkt X = (x 1 y) muss gelten: ​ {  ​    x    + 4y   = 14 3x 2 + 8y 2 = 140 ​ ​ ​ Aus der ersten Gleichung erhält man: x = 14 – 4y Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt: 3 · (14 – 4y) 2 + 8y 2 = 140 Vereinfachen dieser Gleichung liefert: y 2 – 6y + 8 = 0 (Rechne nach!) Daraus ergibt sich: y = 4  =  y = 2 Einsetzen in die erste Gleichung ergibt: x = –2  =  x = 6 Somit lauten die Schnittpunkte: X 1 = (– 2 1 4) und X 2 = (6 1 2) Aufgaben Grundkompetenzen 7.42 Ermittle die Schnittpunkte der Geraden g und der Ellipse ell! a) g: X = (2 1 3) + t · (4 1 –1), ell: 3x 2 + 8y 2 = 140 b) g: X = (1 1 10) + t · (1 1 3), ell: 3x 2 + 2y 2 = 35 c) g: X = (0 1 1) + t · (1 1 0), ell: x 2 + 4y 2 = 4 d) g: X = t · (1 1 1), ell: 3x 2 + 4y 2 = 112 e) g: X = (2 1 –1) + t · (3 1 4), ell: 2x 2 + 3y 2 = 275 f) g: X = (9 1 4) + t · (2 1 3), ell: 3x 2 + 5y 2 = 152 7.43 Ermittle die Schnittpunkte der Geraden g und der Ellipse ell! a) g: 2x + y = 10, ell: 4x 2 + 9y 2 = 340 d) g: 3x + 2y = 18, ell: 3x 2 + 4y 2 = 108 b) g: x + y = – 9, ell: x 2 + 5y 2 = 105 e) g: x + 2y = 1, ell: x 2 + 4y 2 = 25 c) g: 3x + 4y = –12, ell: 9x 2 + 16y 2 = 3600 f) g: 3x – 2y = 12, ell: 3x 2 + 4y 2 = 48 7.44 Die Gerade g schneidet die Ellipse ell in zwei Punkten. Ermittle den Abstand dieser Punkte! a) g: 3x – 2y = 12, ell: 3x 2 + 4y 2 = 336 b) g: x + 3y = 21, ell: 2x 2 + 3y 2 = 210 7.45 Die erste Mediane schneidet die Ellipse ell in zwei Punkten. Ermittle den Abstand dieser Punkte! a) ell: 3x 2 + 5y 2 = 512 b) ell: x 2 + 2y 2 = 243 Ó Ó Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv