Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

144 7 Ellipse, Hyperbel und Parabel 7.32 Ermittle alle Punkte X = (x 1 y) der Ellipse ell in 1. Hauptlage, für die das Verhältnis _ XF: _ XF’den angegebenen Wert besitzt! a) ell: 4x 2 + 5y 2 = 180, _ XF: _ XF’= 2 : 1 b) ell: x 2 + 2y 2 = 18, _ XF: _ XF’= 1 : 5 7.33 Ermittle jene Punkte der Ellipse ell in 1. Hauptlage, die die Eckpunkte eines achsenparallelen Rechtecks mit dem angegebenen Umfang u sind! (Zwei Rechtecke als Lösungen!) a) ell: x 2 + 2y 2 = 297, u = 84 b) ell: 2x 2 + 3y 2 = 290, u = 60 c) ell: 4x 2 + 5y 2 = 756, u = 72 7.34 Ermittle jene Punkte der Ellipse ell in 1. Hauptlage, die die Eckpunkte eines achsenparallelen Rechtecks mit dem angegebenen Flächeninhalt A sind! (Zwei Rechtecke als Lösungen!) a) ell: x 2 + 9y 2 = 117, A = 72 b) ell: x 2 + 4y 2 = 136, A = 120 c) ell: 4x 2 + 9y 2 = 612, A = 96 7.35 Der Ellipse ell: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 in 1. Hauptlage sind jene achsenparallelen Rechtecke einzu schreiben, deren Seitenlängen sich wie a) a : b, b) b : a verhalten. Gib für jedes Rechteck die Koordinaten der Eckpunkte an! Bestimmen der Lage einer Ellipse Satz Sind p, q, r positive reelle Zahlen, so ist px 2 + qy 2 = r eine Gleichung einer Ellipse. Diese ist  in 1. Hauptlage, falls p < q  in 2. Hauptlage, falls p > q  ein Kreis, falls p = q. Beweis: px 2 + qy 2 = r É   x 2 _    r _ p +   y 2 _    r _ q  = 1 1. Fall: p < q É   r _  p >   r _ q É Ellipse in 1. Hauptlage mit a 2 =   r _ p ? b 2 =   r _ q 2. Fall: p > q É   r _  p <   r _ q É Ellipse in 2. Hauptlage mit b 2 =   r _ p ? a 2 =   r _ q 3. Fall: p = q É qx 2 + qy 2 = r É x 2 + y 2 =   r _ q É Kreis mit Mittelpunkt O und Radius 9 _   r _ q  Aufgaben Vertiefung 7.36 Gegeben sei eine Ellipse mit der Gleichung px 2 + qy 2 = r. Drücke die Koordinaten der Brennpunkte durch p, q, r aus! Unterscheide dabei die Fälle p < q und p > q! 7.37 Seien P = (p 1 1 p 2 ) und Q = (q 1 1 q 2 ) Punkte im ersten Quadranten mit p 1 < q 1 . Zeige, dass P und Q genau dann eine Ellipse in 1. Hauptlage festlegen, wenn p 2 > q 2 und _ OP< _ OQist! 7.38 Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Ellipse in 1. Hauptlage mit a = 4?  x 2 + 4y 2 = 4  9x 2 + 16y 2 = 144  x 2 = 16 + 4y 2  5y 2 = 48 – 3x 2  4x 2 + y 2 = 64  2x 2 + 3y 2 = 32  y 2 = 16 – 4x 2  4x 2 = 64 – 3y 2 7.39 Welche dieser Gleichungen beschreibt eine Ellipse in 2. Hauptlage mit der Brennweite e = 4?  5x 2 + 2y 2 = 60  6x 2 + 5y 2 = 450  x 2 = 32 – 2y 2  3y 2 = 192 – 4x 2  2x 2 + 3y 2 = 96  7x 2 + 5y 2 = 280  y 2 = 24 – 3x 2  9x 2 = 180 – 5y 2 Ó Lernapplet vu92sa Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv