Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

143 7.1 Die Ellipse Ellipsen in 2. Hauptlage 7.20 Ermittle eine Gleichung der Ellipse in 2. Hauptlage mit: a) a = 4, b = 2 c) a = 9, b = 6 e) a = 6, e = 4 g) b = 10, e = 5 b) a = 10, b = 8 d) a = 15, b = 5 f) a = 8, e = 6 h) b = 15, e = 15 7.21 Eine Ellipse in 2. Hauptlage ist durch a und b gegeben. Stelle eine Gleichung der Ellipse auf und untersuche, ob die Punkte P und Q auf der Ellipse liegen! a) a = 10, b = 2, P = (1,6 1 6), Q = (1,2 1 – 8) b) a = 15, b = 10, P = (4 1 14), Q = (6 1 12) 7.22 Ermittle die Halbachsenlängen a und b sowie die Brennpunkte F und F’ der Ellipse in 2. Haupt lage mit der angegebenen Gleichung! a) 9x 2 + 4y 2 = 25 c) 25x 2 + 4y 2 = 400 b) 5x 2 + y 2 = 5 d) 3x 2 + 2y 2 = 6 7.23 Ermittle eine Gleichung jener Ellipse ell 2 in 2. Hauptlage, deren Nebenscheitel die Hauptscheitel der gegebenen Ellipse ell 1 in 1. Hauptlage sind und die dieselbe Brennweite wie ell 1 besitzt! a) ell 1 : x 2 + 5y 2 = 20 b) ell 1 : 2x 2 + 3y 2 = 60 c) ell 1 : 3x 2 + 4y 2 = 144 d) ell 1 : 2x 2 + 7y 2 = 84 Aufgaben Vertiefung 7.24 Der Punkt P liegt auf der Ellipse ell in 1. Hauptlage. Berechne die Abstände des Punktes P von den Brennpunkten F und F’ der Ellipse sowie das Winkelmaß der Vektoren _  À  PFund _  À  PF’! a) ell: 16x 2 + 25y 2 = 400, P = (3 1 p 2 ) mit p 2 > 0 b) ell: 9x 2 + 25y 2 = 225, P = (– 3 1 p 2 ) mit p 2 > 0 7.25 Wie groß ist der Flächeninhalt des Rhombus, dessen Eckpunkte die Scheitel der Ellipse ell in 1. Hauptlage sind? a) ell: 25x 2 + 36y 2 = 3 600 b) ell: x 2 + 4y 2 = 4 7.26 Stelle Gleichungen der Geraden auf, die durch einen Hauptscheitel und einen Nebenscheitel der Ellipse ell in 1. Hauptlage gehen! a) ell: x 2 + 4y 2 = 100 b) ell: 4x 2 + 9y 2 = 36 7.27 Welche Punkte der Geraden g: y = x + 1 sind jeweils von einem Haupt- und einem Nebenscheitel der Ellipse ell: x 2 + 4y 2 = 136 in 1. Hauptlage gleich weit entfernt? 7.28 Von einer Ellipse in 1. Hauptlage kennt man die Punkte P und Q. Stelle eine Gleichung der Ellipse auf und berechne jenen Punkt der Ellipse, der im 1. Quadranten liegt und dessen 1. Koordinate das Dreifache seiner 2. Koordinate ist! a) P = (1 1 5), Q = (11 1 –1) b) P = (– 2 1 –10), Q = (– 8 1 8) c) P = (3 1 7), Q = (21 1 1) 7.29 Stelle zu den gegebenen Angaben eine Gleichung der Ellipse in 1. Hauptlage auf und ermittle jene Punkte X dieser Ellipse, für die _  À  FXund _  À  F’Xnormal zueinander sind! (Zeichnung!) a) a = 9 __ 40, b = 9 __ 15 b) e = 5, b = 9 __ 20 c) e = 4, a = 9 __ 28 7.30 Welche Punkte der Ellipse ell in 1. Hauptlage haben vom Ursprung den Abstand d? a) ell: x 2 + 2y 2 = 306, d = 15 b) ell: 3x 2 + 4y 2 = 532, d = 13 c) ell: 2x 2 + 5y 2 = 770, d = 17 7.31 Welche Punkte der Ellipse ell in 1. Hauptlage haben vom Brennpunkt F = (e 1 0) den Abstand d? a) ell: 3x 2 + 4y 2 = 192, d = 10 b) ell: 5x 2 + 9y 2 = 180, d = 4 c) ell: x 2 + 5y 2 = 245, d = 9 _ 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv