Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

142 7 Ellipse, Hyperbel und Parabel 7.13 Gegeben ist die Ellipse ell: 9x 2 + 25y 2 = 100 in 1. Hauptlage. Ermittle die Halbachsenlängen a und b, die Haupt- und Nebenscheitel sowie die Brennpunkte F und F’ der Ellipse! Lösung: Da 9 · 25 ≠ 100 ist, dürfen wir nicht einfach annehmen, dass b 2 = 9 und a 2 = 25 ist. Wir dividieren vielmehr beide Seiten der Ellipsengleichung durch 100 und erhalten:   9x 2 _  100 +   25y 2 _  100  = 1 bzw.   x 2 _    100 _ 9  +   y 2 _  4 = 1 Dieser Gleichung entnimmt man: a 2 =   100 _ 9  und b 2 = 4. Also ist a =   10 _ 3  und b = 2. Weiters gilt: e 2 = a 2 – b 2 =   100 _ 9  – 4 =   64 _ 9  , also ist e =   8 _ 3 . Damit erhalten wir: A = 2      10 _  3    1  0  3 , A’ = 2  –   10 _ 3    1  0  3 , B = (0 1 2), B’ = (0 1 – 2), F = 2      8 _  3   1  0  3 , F’ = 2  –     8 _ 3    1  0  3 7.14 Ermittle die Halbachsenlängen a und b sowie die Brennweite der Ellipse ell in 1. Hauptlage! a) ell: 2x 2 + 5y 2 = 20 d) ell: 3x 2 + 7y 2 = 84 g) ell: 9x 2 + 25y 2 = 900 b) ell: 16x 2 + 25y 2 = 400 e) ell: 4x 2 + 9y 2 = 324 h) ell: 2x 2 + 3y 2 = 60 c) ell: 4x 2 + 9y 2 = 144 f) ell: x 2 + 5y 2 = 25 i) ell: 3x 2 + 4y 2 = 36 7.15 Ermittle eine Gleichung der Ellipse in 1. Hauptlage, die durch die Punkte P = (6 1 4) und Q = (8 1 3) geht! Lösung: ell: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 � P * ell: 36b 2 + 16a 2 = a 2 b 2 – Q * ell: 64b 2 + 9a 2 = a 2 b 2 – 28b 2 + 7a 2 = 0 w a 2 = 4b 2 Setzen wir dies in die erste Gleichung ein, erhalten wir: 36b 2 + 64b 2 = 4b 4 | : b 2 (≠ 0) 100 = 4b 2 b 2 = 25 Wegen a 2 = 4b 2 folgt daraus: a 2 = 100 ell: 25x 2 + 100y 2 = 2500 | : 25 ell: x 2 + 4y 2 = 100 7.16 Ermittle eine Gleichung der Ellipse in 1. Hauptlage, die durch P und Q geht! a) P = (2 1 2), Q = (– 4 1 1) c) P = (– 3 1 –1), Q = (–1 1 – 2) e) P = (6 1 2), Q = (3 1 – 4) b) P = ( 9 _ 6 1 3), Q = (4 1 – 2) d) P = (5 1 0), Q = (0 1 – 2) f) P = (– 3 1 2), Q = (4 1 1,5) 7.17 Eine Ellipse in 1. Hauptlage geht durch die Punkte P und Q. Welche der Punkte R, S, T liegen auf der Ellipse? a) P = (4 1 4), Q = (8 1 – 2), R = (2 1 9 __ 19), S = (– 6 1 9 __ 11), T = (7 1 9 _ 8) b) P = ( 9 __ 21 1 9 __ 21), Q = (– 9 1 –1), R = (–7 1 3), S = (6 1 4), T = (3 1 – 5) c) P = (2 1 8), Q = (7 1 7), R = (11 1 5), S = (12 1 4), T = (13 1 3) 7.18 Welche der folgenden Punkte liegen außerhalb der Ellipse ell: x 2 + 4y 2 = 225 in 1. Hauptlage?  (1 1 8)  (14 1 2)  (–5 1 7)  (13 1 –4)  (–9 1 –6)  (11 1 5)  (6 1 –7)  (–12 1 5) 7.19 Von einer Ellipse in 1. Hauptlage kennt man die Brennweite e und das Verhältnis a : b der Halbachsenlängen. Ermittle eine Gleichung der Ellipse und gib fünf Punkte auf der Ellipse an! a) e = 20, a : b = 3 : 1 b) e = 5, a : b = 2 : 9 _ 3 c) e = 9 __ 30, a : b = 9 _ 3: 9 _ 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv