Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

141 7.1 Die Ellipse Eine Ellipse kann als Punktmenge so dargestellt werden: Ellipse in R 2 in 1. Hauptlage = {(x 1 y) * R 2 ‡ b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 } = {  (x 1 y) * R 2   ‡    x 2 _  a 2 +   y 2 _  b 2 = 1   } Ellipse in R 2 in 2. Hauptlage = {(x 1 y) * R 2 ‡ a 2 x 2 + b 2 y 2 = a 2 b 2 } = {  (x 1 y) * R 2   ‡    x 2 _ b 2 +   y 2 _  a 2 = 1   } Kreis als Spezialfall einer Ellipse Aus e 2 = a 2 – b 2 folgt a º b. Ist a = b, ergibt sich e = 0 und somit fallen die beiden Brennpunkte F und F’ im Mittelpunkt M der Ellipse zusammen. Für a = b = r geht die Gleichung der Ellipse über in r 2 x 2 + r 2 y 2 = r 2 · r 2 bzw. x 2 + y 2 = r 2 . Dies ist eine Gleichung eines Kreises mit dem Radius r. Merke Ein Kreis mit dem Radius r ist eine spezielle Ellipse mit a = b = r, wobei die beiden Brennpunkte im Mittelpunkt des Kreises zusammenfallen. Aufgaben Grundkompetenzen Ellipsen in 1. Hauptlage 7.05 Ermittle eine Gleichung der Ellipse in 1. Hauptlage mit: a) a = 9, b = 5 b) a = 4, b = 9 _ 3 c) a = 24, b = 16 d) a = 25, b = 20 7.06 Ermittle eine Gleichung der Ellipse in 1. Hauptlage mit: a) a = 9, e = 6 b) a = 2 9 _ 5, e = 4 c) b = 8, e = 6 d) b = 5, e = 15 7.07 Ermittle eine Gleichung der Ellipse in 1. Hauptlage mit: a) F = (4 1 0), a = 5 c) F = (1 1 0), a = 9 _ 8 e) F = ( 9 __ 30 1 0), b = 9 __ 60 b) F = (8 1 0), a = 10 d) F = (2 1 0), b = 4 f) F = ( 9 __ 20 1 0), b = 9 __ 60 7.08 Ermittle eine Gleichung der Ellipse in 1. Hauptlage mit: a) F = ( 9 _ 2 1 0), a = 9 __ 11 b) A = ( 9 _ 7 1 0), e = 9 _ 3 c) B = (0 1 2), e = 3 d) F = (8 1 0), a = 12 7.09 Von einer Ellipse in 1. Hauptlage kennt man den Brennpunkt F und einen Punkt P auf der Ellipse. Ermittle eine Gleichung der Ellipse und die Koordinaten der Scheitel! a) F = (5 1 0), P = (6 1 2) c) F = (6 1 0), P = (– 8 1 2) e) F = (3 1 0) , P = (6 1 9 __ 40) b) F = (4 1 0), P = (4 1 6) d) F = (6 1 0), P = (4 1 9 __ 21) f) F = (3 1 0), P = (3 1 3,2) 7.10 Die Scheitel A und B der Ellipse ell in 1. Hauptlage liegen auf der Geraden g. Stelle eine Gleichung der Ellipse auf! a) g: x + 2y = 6 b) g: 2x + 5y = 10 c) g: x + 4y = 12 7.11 Stelle eine Gleichung der Ellipse in 1. Hauptlage auf und berechne die unbekannte Koordinate des Punktes P auf der Ellipse! a) a = 8, b = 4, P = (2 1 p 2 ) mit p 2 > 0 d) a = 12, e = 8 9 _ 2, P = (9 1 p 2 ) mit p 2 > 0 b) a = 15, b = 5, P = (9 1 p 2 ) mit p 2 < 0 e) b = 6, e = 6, P = (8 1 p 2 ) mit p 2 > 0 c) a = 4, e = 2, P = (p 1 1 3) mit p 1 > 0 f) b = 3, e = 6, P = (5 1 p 2 ) mit p 2 < 0 7.12 Eine Ellipse in 1. Hauptlage hat die Hauptachsenlänge 2a und die lineare Exzentrizität e. Gib eine Gleichung der Ellipse sowie die Koordinaten ihrer Scheitel an! Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv