Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

140 7 Ellipse, Hyperbel und Parabel Hauptlagen einer Ellipse in einem Koordinatensystem 1. Hauptlage: Mittelpunkt M im Ursprung, Brennpunkte F und F’ auf der 1. Achse 2. Hauptlage: Mittelpunkt M im Ursprung, Brennpunkte F und F’ auf der 2. Achse B X A' F' x M F b y A e a B' A = (a 1 0) A X B' F' x M F b y B e a A' A = (0 1 a) A’ = (– a 1 0) A’ = (0 1 – a) B = (0 1 b) B = (b 1 0) B’ = (0 1 –b) B’ = (–b 1 0) F = (e 1 0) F = (0 1 e) F’ = (– e 1 0) F’ = (0 1 – e) Gleichung einer Ellipse Wir betrachten zuerst eine Ellipse in 1. Hauptlage . Ein Punkt X = (x 1 y) liegt genau dann auf dieser Ellipse, wenn gilt: _ FX+ _ F’X= 2a 9 _________ (x – e) 2 + (y – 0) 2 + 9 _________ (x + e) 2 + (y – 0) 2 = 2a 9 ______ (x – e) 2 + y 2 = 2a – 9 ______ (x + e) 2 + y 2 | Quadrieren x 2 – 2ex + e 2 + y 2 = 4a 2 – 4a 9 ______ (x + e) 2 + y 2 + x 2 + 2ex + e 2 + y 2 4a 9 ______ (x + e) 2 + y 2 = 4a 2 + 4ex | : 4 a 9 ______ (x + e) 2 + y 2 = a 2 + ex | Quadrieren a 2 (x 2 + 2ex + e 2 + y 2 ) = a 4 + 2a 2 ex + e 2 x 2 (a 2 – e 2 )x 2 + a 2 y 2 = a 4 – a 2 e 2 (a 2 – e 2 )x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 – e 2 ) Wegen a 2 – e 2 = b 2 ergibt sich daraus: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 Eine Ellipse in 2. Hauptlage geht aus einer Ellipse in 1. Hauptlage durch eine Spiegelung an der 1. Mediane hervor, dh. in der Gleichung b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 werden x und y vertauscht: a 2 x 2 + b 2 y 2 = a 2 b 2 Insgesamt haben wir bewiesen: Satz Für eine Ellipse ell mit den Halbachsenlängen a und b gilt: 1. Hauptlage: (x 1 y) * ell É b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 É   x 2 _ a 2 +   y 2 _ b 2 = 1 2. Hauptlage: (x 1 y) * ell É a 2 x 2 + b 2 y 2 = a 2 b 2 É   x 2 _ b 2 +   y 2 _  a 2 = 1 Bemerkung: Bei der Herleitung der Ellipsengleichung haben wir zweimal quadriert. Quadrieren ist im Allgemeinen keine Äquivalenzumformung. Eine solche liegt aber vor, wenn beide Seiten der Gleichung positiv sind. Wir zeigen daher, dass dies der Fall ist: Zeile 3: 9 ______ (x – e) 2 + y 2 > 0, 2a – 9 ______ (x + e) 2 + y 2 = 2a – _ F’X> 0 Zeile 6: a 9 ______ (x + e) 2 + y 2 > 0, a 2 + ex º a 2 + e · (– a) = a(a – e) > 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv