Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

14 2 Grundbegriffe der Differentialrechnung Änderungsgeschwindigkeit 2.02 Aus einem zylindrischen Behälter, in dem sich anfänglich 100 ® Wasser befinden, fließt Wasser aus. Es sei V(t) das Volumen des im Behälter befindlichen Wassers zum Zeitpunkt t. Es gilt näherungsweise: V(t) = (10 – t) 2 (t in Sekunden, V(t) in Liter) 1) Nach welcher Zeit ist der Behälter leer? 2) Berechne die Volumsänderung in den Zeitintervallen [0; 1] und [9; 10]! Was bedeutet das negative Vorzeichen? 3) Berechne die mittlere Volumsänderungsgeschwindigkeit im Zeitintervall [0; 10]! 4) Gib eine Formel für die mittlere Volumsänderungsgeschwindigkeit im Zeitintervall [t; z] an! 5) Gib eine Formel für die Volumsänderungsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t an! 6) Wie groß ist die Volumsänderungsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt 2 bzw. zum Zeitpunkt 8? Lösung: 1) V(t) = 0  É  t = 10. Der Behälter ist nach 10 s leer. 2) Volumsänderung im Zeitintervall [0; 1] = V(1) – V(0) = 9 2 – 10 2 = –19 ( ® ) Volumsänderung im Zeitintervall [9; 10] = V(10) – V(9) = 0 2 – 1 2 = –1 ( ® ) Das negative Vorzeichen bedeutet, dass das Volumen im jeweiligen Zeitintervall abnimmt. 3) Mittlere Volumsänderungsgeschwindigkeit im Zeitintervall [0; 10] = ​  Volumsänderung ___  verstrichene Zeit ​= = ​  V(10) – V(0) __  10 – 0  ​= ​  0 – 100 _  10  ​= –10 ( ® /s) Das Volumen nimmt im Mittel (!) um 10 ® pro Sekunde ab (am Anfang mehr, gegen Ende weniger, siehe die obige Abbildung). 4) Mittlere Volumsänderungsgeschwindigkeit im Zeitintervall [t; z] = ​  V(z) – V(t) __ z – t  ​= ​  (10 – z) 2 – (10 – t) 2 ___ z – t  ​= = ​  (z 2 – 20z + 100) – (t 2 – 20t + 100) _____   z – t  ​= ​  z 2 – t 2 – 20(z – t) ___ z – t  ​= ​  (z – t)(z + t) – 20(z – t) ____ z – t  ​= z + t – 20 ( ® /s) Diese Formel gilt nur für z ≠ t, weil sonst der Nenner der Brüche gleich 0 wäre. 5) Wir bezeichnen die Volumsänderungsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t mit V’(t). Naheliegenderweise versteht man darunter den Grenzwert der mittleren Änderungs­ geschwindigkeiten in immer kleiner werdenden Zeitintervallen [t; z]: V’(t) = ​lim    z ¥ t​ ​​  V(z) – V(t) __  z – t  ​= ​lim    z ¥ t​ ​(z + t – 20) Für die Berechnung dieses Limes überlegen wir so: Nähert sich z unbegrenzt der Zahl t, dann nähert sich z + t – 20 unbegrenzt der Zahl t + t – 20 = 2t – 20. Also: V’(t) = 2t – 20 ( ® /s) 6) Für t = 2 ergibt sich: V’(2) = –16 ( ® /s) Für t = 8 ergibt sich: V’(8) = – 4 ( ® /s) Der in der letzten Aufgabe verwendete Begriff Volumsänderungsgeschwindigkeit ist eine Ver­ allgemeinerung des gewöhnlichen Geschwindigkeitsbegriffs. Bei positivem Vorzeichen handelt es sich um eine (mittlere) Volumszunahmegeschwindigkeit , bei negativem Vorzeichen um eine (mittlere) Volumsabnahmegeschwindigkeit . Den Begriff der (mittleren) Änderungsgeschwindig- keit kann man nicht nur für Volumina, sondern für beliebige zeitabhängige Größen verwenden (zB Gewichtsänderungsgeschwindigkeit). 0 1 2 3 4 5 6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv