Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

139 7.1 Die Ellipse Aufgrund der Konstruktion kann man feststellen: „„ Die Geraden FF’ und BB’ stehen aufeinander normal. „„ Die Punkte A und A’ auf der Geraden FF’, die vom Mittelpunkt M der Strecke FF’ den Abstand a haben, liegen ebenfalls auf der Ellipse, denn es gilt: ​ _ FA​+ ​ _ F’A​= (​ _ MA​– ​ _ MF​) + (​ _ MA​+ ​ _ MF’​) = (​ _ MA​– ​ _ MF​) + (​ _ MA​+ ​ _ MF​) = 2 · ​ _ MA​= 2a ​ _ FA’​+ ​ _ F’A’​= (​ _ MA’​+ ​ _ MF​) + (​ _ MA’​– ​ _ MF’​) = (​ _ MA’​+ ​ _ MF​) + (​ _ MA’​– ​ _ MF​) = 2 · ​ _ MA’​= 2a Bezeichnungen bei einer Ellipse: F und F’ . . . Brennpunkte Strecke AA’ . . Hauptachse M . . . . . . Mittelpunkt Strecke BB’ . . Nebenachse A und A’ . . . Hauptscheitel ​ _ AA’​= 2a . . . Hauptachsenlänge B und B’ . . . . . . Nebenscheitel ​ _ BB’​= 2b . . . Nebenachsenlänge ​ _ MA​= ​ _ MA’​= a und ​ _ MB​= ​ _ MB’​= b … Halbachsenlängen ​ _ MF​= ​ _ MF’​= e … Brennweite oder lineare Exzentrizität Aus der Abbildung erkennt man: Satz Für eine Ellipse mit den Halbachsenlängen a und b und der Brennweite e gilt: ​ e​ 2 ​= ​a​ 2 ​– ​b​ 2 ​ Daraus folgt insbesondere, dass stets b ª a ist. Aufgaben Grundkompetenzen 7.01 Wie groß ist die Nebenachsenlänge einer Ellipse mit der Hauptachsenlänge 10 und der Brenn- weite 3? 7.02 Zeichne eine Ellipse mit  a) a = 6 cm, b = 4 cm,  b) a = 10 cm, e = 8 cm,  c) b = 4 cm, e = 4 cm! 7.03 Von einer Ellipse kennt man die Brennpunkte F und F’ sowie einen Punkt P auf der Ellipse. Zeichne die Ellipse! a) F = (3 1 0), F’ = – F, P = (2 1 2) b) F = (2 1 0), F’ = – F, P = (5 1 3) 7.04 Das 1. Keplersche Gesetz lautet: „Die Bahnen der Planeten sind Ellipsen, wobei die Sonne in einem Brennpunkt steht.“ Im Folgenden sind für jeden Planeten die Halbachsenlänge a und die sogenannte numerische Exzentrizität ε = ​  e _  a ​angegeben. Entfernungen werden in astronomischen Einheiten (AE) gemessen: 1 AE = Länge der großen Halbachse der Erdumlaufbahn ≈ 149597871 km. Berechne für jeden Planeten die Halbachsenlänge b (in Kilometer) sowie die größte und kleinste Entfernung des Planeten von der Sonne (in Kilometer)! a) Merkur: a = 0,387 AE,  ε = 0,206 e) Jupiter: a = 5,20 AE,  ε = 0,048 b) Venus: a = 0,72 AE,  ε = 0,0068 f) Saturn: a = 9,54 AE,  ε = 0,056 c) Erde: a = 1 AE,  ε = 0,017 g) Uranus: a = 19,18 AE,  ε = 0,047 d) Mars: a = 1,52 AE,  ε = 0,093 h) Neptun: a = 29,80 AE,  ε = 0,0086 a A' F' M e e a a a b F A B' B Sonne anderer Brennpunkt Nur zu Prüfzwecken – Ei entum des Verlags öbv