Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

138 1. A. A B x F E C O G x y 2p 2p + u 2p + u 2a D u 7 Ellipse, Hyperbel und Parabel Grundkompetenzen Ellipsen , Hyperbeln und Parabeln durch Gleichungen beschreiben können. Die gegenseitige Lage von Kegelschnitten und Geraden bestimmen und Schnittpunkte eines Kegelschnitts mit einer Geraden berechnen können. Eine Gleichung der Tangente in einem Punkt einer Ellipse, Hyperbel oder Parabel in Hauptlage aufstellen können. 7.1 Die Ellipse Definition der Ellipse Ein elliptisches Blumenbeet kann man so anfertigen: Man befestigt die Enden einer Schnur an zwei fixen Pflöcken F und F’ und spannt die Schnur mit der Spitze einer Stange (siehe nebenstehende Abbildung). Bewegt man die Stangenspitze in alle möglichen Lagen, so erzeugt die Stangenspitze eine Ellipse. Bezeichnen wir die Länge der Schnur mit 2a, dann gilt für jeden Punkt X der Ellipse: _ FX+ _ F’X= 2a Definition Eine Ellipse ell ist die Menge aller Punkte einer Ebene, für die die Summe der Abstände von zwei gegebenen Punkten F und F’ konstant ( = 2a > _ FF’) ist. ell = {X * R 2 ‡ _ FX+ _ F’X= 2a} Konstruktion mit Zirkel und Lineal Eine Ellipse ell = {X * R 2 ‡ _ FX+ _ F’X= 2a} kann in folgenden Schritten konstruiert werden: Zeichne die Punkte F und F’! Zeichne eine Hilfsstrecke UV der Länge 2a (siehe nebenstehende Abbildung)! Wähle auf UV einen Punkt T! Dieser zerlegt die Strecke UV in zwei Teilstrecken der Längen d und 2a – d. Schlage diese beiden Längen jeweils von F und von F’ aus mit dem Zirkel ab! Man erhält vier Schnittpunkte X, X’, Y, Y’. Für jeden dieser Schnittpunkte ist die Summe der Abstände von F und F’ gleich d + (2a – d) = 2a. Diese vier Punkte liegen also auf der Ellipse. Konstruiere für andere Lagen des Teilungspunktes T analog weitere Ellipsenpunkte! Hinweis: Mit Teilungspunkten T, die zu nahe an U bzw. V liegen, können unter Umständen keine Ellipsenpunkte konstruiert werden. Spezialfall: Ist T der Mittelpunkt von UV, so erhält man nur die Ellipsenpunkte B und B’. F' F X Ó g64b5n Ó m3k9pz Y B X A T V U F d d 2a – d 2a – d 2a M X' B' Y' F' A' Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv