Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

135 6.4 Die Kugel 6.99 Ermittle eine Gleichung der Kugel, die den Mittelpunkt M hat und die Ebene E berührt! a) M = (– 6 1 5 1 1), E: 4x – y + 2z = 15 d) M = (2 1 7 1 –10), E: x + 3y – z = 0 b) M = (2 1 4 1 –1), E: x – y + z = 12 e) M = (0 1 0 1 0), E: 2x – y + 2z = 18 c) M = (– 5 1 3 1 1), E: 2x + y = 13 f) M = (3 1 1 1 5), E: 3x + 2y + 2z = 55 Aufgaben Vertiefung 6.100 Ermittle die Schnittpunkte der Kugel K mit der Geraden g! a) K: (x + 4) 2 + (y – 3) 2 + (z + 2) 2 = 62, g: X = (5 1 2 1 6) + t · (1 1 – 2 1 3) b) K: x 2 + (y – 4) 2 + (z – 7) 2 = 27, g: X = (9 1 – 2 1 – 8) + t · (2 1 –1 1 – 4) 6.101 Ermittle eine Gleichung der Kugel mit dem Radius r, die die Ebene E im Punkt P berührt! Wie viele Lösungen gibt es? a) r = 15, E: 2x + 2y + z = 26, P = (4 1 p 2  1 6) b) r = ​ 9 __ 27​, E: x + y – z = 4, P = (p 1  1 0 1 0) 6.102 Ermittle eine Gleichung der Kugel, die den Mittelpunkt M hat und die Gerade g berührt! a) M = (1 1 1 1 – 8), g = AB mit A = (12 1 3 1 6), B = (8 1 –1 1 0) b) M = (1 1 2 1 – 4), g = AB mit A = (–1 1 2 1 6), B = (7 1 4 1 4) 6.103 Ermittle eine Gleichung der Kugel, die die parallelen Ebenen E 1 und E 2 berührt, und zwar E 1 im Punkt P! a) E 1 : 5x – 2y + z = 20; E 2 geht durch A = (7 1 –15 1 15); P = (5 1 – 2 1 p 3 ) b) E 1 : 2y + z = 0; E 2 geht durch A = (5 1 5 1 10); P = (1 1 – 2 1 p 3 ) 6.104 Ermittle eine Gleichung der Kugel, die durch die Punkte A und B geht und ihren Mittelpunkt auf der Geraden g hat! a) A = (– 3 1 7 1 10), B = (9 1 3 1 2), g: X = (–7 1 10 1 17) + t · (–3 1 2 1 4) b) A = (– 4 1 3 1 4), B = (4 1 5 1 – 2), g: X = (8 1 2 1 – 9) + t · (1 1 0 1 – 2) c) A = (5 1 6 1 – 5), B = (–1 1 – 4 1 – 3), g: X = (9 1 11 1 –11) + t · (2 1 3 1 – 5) Hinweis: Lege eine Normalebene durch den Mittelpunkt der Strecke AB! 6.105 Ermittle eine Gleichung der Kugel, die durch die Punkte A, B und C geht und deren Mittelpunkt in der Ebene E liegt! a) A = (11 1 1 1 3), B = (7 1 1 1 7), C = (3 1 – 5 1 7), E: x + y + z = 4 b) A = (10 1 1 1 6), B = (– 5 1 3 1 7), C = (4 1 7 1 4), E: 4x – 5y – 2z = 3 6.106 Die Kugel K mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r wird von der Kugel K 1 von außen und von der Kugel K 2 von innen berührt. Die Mittelpunkte M 1 und M 2 der Kugeln K 1 und K 2 fallen zusammen. Ermittle Gleichungen der Kugeln K, K 1 und K 2  , die Berührpunkte P 1 und P 2 sowie Gleichungen der zugehörigen Tangentialebenen! a) M 1 = (7 1 – 2 1 2), r 1 = 6, M = (1 1 – 5 1 8) b) M 1 = (5 1 11 1 7), r 1 = ​ 9 __ 14​, M = (1 1 3 1 – 5) 6.107 Welche Bedingung müssen die Koeffizienten a, b, c, d erfüllen, damit die Gleichung x 2 + y 2 + z 2 + ax + by + cz + d = 0 eine Kugel darstellt? 6.108 Untersuche, ob die folgende Gleichung eine Kugel darstellt und gib gegebenenfalls den Mittelpunkt und den Radius an! a) x 2 + y 2 + z 2 – 4x – 6y + 8z = –4 d) x 2 + y 2 + z 2 + 3x + 4y + 5z + 25 = 0 b) x 2 + y 2 + z 2 – x – 5y + z – 3 = 0 e) x 2 + y 2 + z 2 + 3x + y + z + 25 = 0 c) x 2 + y 2 + z 2 – x + 3y = 0 f) x 2 + y 2 + z 2 – 4x + 6y + 8z + 4 = 0 Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigen um des Verlags öbv