Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

133 P' t' t M k k' 6.4 Die Kugel Definition Eine Kugel K mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r ist die Menge aller Punkte des Raumes, die von M den Abstand r haben. Da Kugeln analog zu Kreisen definiert sind, können Kugeln im Raum analog zu Kreisen in der Ebene behandelt werden. 6.87 Stelle eine Gleichung einer Kugel mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r auf! Lösung: Für jeden Punkt X der Kugel K gilt: X * K É _ MX= r É † X – M † = r É (X – M) 2 = r 2 Setzt man X = (x 1 y 1 z) und M = (m 1 1 m 2 1 m 3 ), erhält man: (x 1 y 1 z) * K É (x – m 1 ) 2 + (y – m 2 ) 2 + (z – m 3 ) 2 = r 2 Wir halten das Ergebnis der letzten Aufgabe fest: Satz Ist K eine Kugel im Raum mit dem Mittelpunkt M = (m 1 1 m 2 1 m 3 ) und dem Radius r, dann gilt: X * K É (X – M) 2 = r 2 bzw. (x 1 y 1 z) * K É (x – m 1 ) 2 + (y – m 2 ) 2 + (z – m 3 ) 2 = r 2 Die Kugel K kann als Punktmenge dargestellt werden: K = {X * R 3 ‡ (X – M) 2 = r 2 } bzw. K = {(x 1 y 1 z) * R 3 ‡ (x – m 1 ) 2 + (y – m 2 ) 2 + (z – m 3 ) 2 = r 2 } Wir nennen diese Punktmenge eine Kugel in R 3 . Ist insbesondere M = O = (0 1 0 1 0), dann lautet eine Gleichung der Kugel: X 2 = r 2 bzw. x 2 + y 2 + z 2 = r 2 Wir halten fest: Gleichung einer Kugel mit dem Mittelpunkt M = (m 1 1 m 2 1 m 3 ) und dem Radius r : (X – M) 2 = r 2 bzw. (x – m 1 ) 2 + (y – m 2 ) 2 + (z – m 3 ) 2 = r 2 Gleichung einer Kugel mit dem Mittelpunkt O = (0 1 0 1 0) und dem Radius r : X 2 = r 2 bzw. x 2 + y 2 + z 2 = r 2 Sei P ein Punkt auf der Kugel K. Die Ebene, die mit der Kugel nur den Punkt P gemeinsam hat, bezeichnet man als Tangentialebene der Kugel K im Punkt P . Man sagt auch: Die Kugel K berührt die Ebene T im Punkt P. Man kann zeigen, dass diese Tangentialebene auf MP normal steht. M m 1 X r m 2 m 3 z y x M P T K Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv