Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

131 P' t' t M k k' 6.3 Schnitt und gegenseitige Lage zweier Kreise Schnitt zweier Kreise 6.80 1) Berechne die Schnittpunkte der Kreise k 1 und k 2 ! k 1 : Mittelpunkt M 1 = (3 1 5), Radius r 1 = ​ 9 __ 20​ k 2 : Mittelpunkt M 2 = (0 1 – 4), Radius r 2 = ​ 9 __ 50​ 2) Überprüfe die Rechnung anhand einer Zeichnung! Lösung zu 1): „„ Gesucht sind die Punkte X = (x 1 y) mit X * k 1 und X * k 2  , dh. die Punkte, für die gilt:   ​ {  ​ (x – 3) 2 + (y – 5) 2 = 20            x 2 + (y + 4) 2 = 50 ​ ​ ​ w  ​ {  ​  x 2 + y 2 – 6x – 10y = –14 x 2 + y 2 +           8y = 34 ​ ​ „„ Wir lösen dieses Gleichungssystem, indem wir die zweite Gleichung von der ersten subtrahieren:   ​ {  ​ x 2 + y 2 – 6x – 10y = –14            – 6x – 18y = – 48 ​ ​ ​ w  ​ {  ​ x 2 + y 2 – 6x – 10y = –14            x +   3y = 8    ​ ​ ​ Aus der zweiten Gleichung erhält man: x = 8 – 3y Setzt man dies in die erste Gleichung ein, ergibt sich: (8 – 3y) 2 + y 2 – 6(8 – 3y) – 10y = –14  w  y 2 – 4y + 3 = 0  w w  y = 3  =  y = 1 Setzt man diese Werte in die Gleichung x = 8 – 3y ein, so erhält man: x = –1  =  x = 5 „„ Damit ergeben sich die Schnittpunkte S = (–1 1 3) und S’ = (5 1 1). Aufgaben Vertiefung 6.81 Berechne die Schnittpunkte der Kreise k 1 und k 2 ! a) k 1 : (x + 1) 2 + (y – 8) 2 = 65, k 2 : (x – 9) 2 + (y – 3) 2 – 40 = 0 b) k 1 : (x + 3) 2 + (y – 1) 2 = 50, k 2 : (x – 9) 2 + (y + 8) 2 – 125 = 0 c) k 1 : (x + 2) 2 + (y + 5) 2 = 85, k 2 : (x – 8) 2 + (y – 1) 2 – 17 = 0 d) k 1 : 4(x – 3) 2 + 4(y – 5) 2 = 145, k 2 : 4(x + 1) 2 + 4(y + 5) 2 = 145 6.82 Ermittle die Punkte, die vom Punkt A den Abstand a und vom Punkt B den Abstand b haben! a) A = (6 1 0), B = (– 8 1 0), a = 15, b = 13 c) A = (– 3 1 2), B = (6 1 –1), a = ​ 9 __ 20​, b = ​ 9 __ 50​ b) A = (6 1 6), B = (0 1 0), a = 4, b = ​ 9 __ 40​ d) A = (– 2 1 1), B = (2 1 –1), a = 5, b = ​ 9 __ 65​ 6.83 Berechne die Schnittpunkte der Kreise k 1 und k 2 mit den Mittelpunkten M 1 bzw. M 2 und den Radien r 1 bzw. r 2 ! a) k 1 : M 1 = (– 3 1 – 4), P = (5 1 – 3) * k 1 k 2 : geht durch A = (– 2 1 0) und B = (4 1 0), r 2 = 5, M 2 liegt im 1. Quadranten. b) k 1 : (x + 3) 2 + (y – 2) 2 = 26 k 2 : M 2 liegt im 4. Quadranten und auf der Geraden g: X = M 1 + t · (2 1 –1), ​ _ M 1 M 2 ​= ​ 9 __ 80​, r 2 = ​ 9 __ 34​ c) k 1 : x 2 + y 2 + 6x – 6y – 32 = 0 k 2 : M 2 = (0 1 m) mit m > 0, ​ _ M 1 M 2 ​= ​ 9 __ 90​, P = (8 1 16) * k 2 6.84 Berechne die Schnittpunkte der Kreise k 1 und k 2 ! k 1 : Mittelpunkt M 1 ist der Schnittpunkt der 2. Achse mit der Geraden g: 2x + 3y = 12, P = (5 1 5) * k 1 k 2 : Mittelpunkt M 2 ist der Schnittpunkt der 1. Achse mit der Geraden g, k 2 berührt die Gerade t: 3x + y = 28 2 0 y x 1 S S' M 1 M 2 k 2 k 1 Ó Nur zu P üfzwecken – Eigentum des Verlags öbv