Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

130 6 Kreis und Kugel Aufgaben Vertiefung 6.74 Ermittle Gleichungen der Tangenten an den Kreis k, die den Richtungsvektor _  À  ghaben und gib die Berührpunkte an! a) k: (x + 4) 2 + (y – 3) 2 = 52, _  À  g= (2 1 – 3) c) k: x 2 + y 2 = 68, _  À  g= (1 1 – 4) b) k: (x – 2) 2 + (y – 1) 2 = 225, _  À  g= (3 1 4) d) k: (x + 1) 2 + (y + 3) 2 = 9, _  À  g= (1 1 0) 6.75 Ermittle Gleichungen der Tangenten an den Kreis k, die parallel zur Geraden g sind, und gib die Koordinaten der Berührpunkte an! a) k: (x – 1) 2 + (y + 1) 2 = 13, g: y = –1,5x + 3 c) k: (x – 1) 2 + (y – 4) 2 = 45, g: 2y = x b) k: (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 125, g: 2x + y = 7 d) k: (x + 2) 2 + (y – 1) 2 = 34, g: 3x – 5y = 0 6.76 Ermittle Gleichungen der Tangenten an den Kreis k, die parallel zur Geraden g sind, und gib die Koordinaten der Berührpunkte an! a) k: (x + 3) 2 + (y – 2) 2 = 169, g: X = t · (5 1 –12) b) k: (x + 4) 2 + (y – 4) 2 = 200, g: X = (2 1 – 5) + t · (1 1 –7) c) k: x 2 + y 2 = 90, g: X = (– 3 1 6) + t · (1 1 3) d) k: (x + 6) 2 + (y – 4) 2 = 325, g: X = (– 2 1 8) + t · (3 1 2) 6.77 Ermittle Gleichungen der Tangenten an den Kreis k, die zur Geraden g normal sind! a) k: (x + 1) 2 + (y – 5) 2 = 100, g: 3x – 4y = 0 c) k: x 2 + y 2 – 6x – 4y = 0, g: X = t · (3 1 – 2) b) k: x 2 + (y + 1) 2 = 20, g: y – 2x = 6 d) k: 4(x 2 + y 2 ) = 125, g: X = (– 5 1 – 6) + t · (1 1 2) Schnittwinkelmaß von Kreis und Gerade Eine Gerade g schneide einen Kreis k in einem Punkt P. Unter dem Winkelmaß des Kreises k und der Geraden g versteht man das Winkelmaß φ der Geraden g und der Kreistangente t in P (siehe nebenstehende Abbildung). Beachte, dass für das Winkelmaß φ zweier Geraden stets gilt: 0° ª φ ª 90° Das Winkelmaß φ kann als Winkelmaß zweier Richtungsvektoren von g bzw. t ermittelt werden. Eine andere Möglichkeit: Da MP normal auf t und MQ normal auf g steht, ist ¼ PMQ = φ . Ist d der Normalabstand des Mittelpunktes M von der Geraden g, dann ergibt sich φ aus der Gleichung cos φ =   d _ r . Aufgaben Vertiefung 6.78 Begründe anhand der nebenstehenden Abbildung: ¼ (g, t) = ¼ (g, t’) Hinweis: Suche zueinander normale Winkel auf! 6.79 Berechne das Winkelmaß des Kreises k und der Geraden g! a) k: x 2 + y 2 = 170, g: x + 2y = 25 b) k: (x + 5) 2 + (y + 7) 2 = 145, g: 7x + 3y = 31 c) k: x 2 + y 2 – 10y + 5 = 0, g: y = 3x – 5 d) k: x 2 + y 2 – 58 = 0, g: X = (– 2 1 5) + t · (5 1 2) e) k: (x – 5) 2 + (y – 8) 2 = 125, g: X = (8 1 –1) + t · (1 1 2) f) k: x 2 + y 2 – 6x – 8y = 0, g: X = (1 1 5) + t · (3 1 1) k M P g t d Q r φ φ k M P g t P' t' φ φ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv