Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

13 2.1 Differenzenquotient und Differentialquotient 3) Wir bezeichnen die Geschwindigkeit des Springers zum Zeitpunkt 3 mit v(3). Was soll man darunter überhaupt verstehen? Es liegt nahe, die mittleren Geschwindigkeiten in immer kleiner werdenden Zeitintervallen [3; z] zu ermitteln, dh. z immer näher bei 3 zu wählen, wodurch man eine immer bessere Näherung für die gesuchte Geschwindigkeit v(3) erhält. Nach 2) gilt für t = 3: ​ _ v​ (3; z) = 5 · (z + 3) für z ≠ 3 In der nebenstehenden Tabelle wurde ​ _ v​ (3; z) für verschie- dene, immer näher bei 3 liegende Werte von z berechnet. Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 3 kann man als „ Grenzwert “ [lat: Limes] dieser mittleren Geschwindigkei- ten auffassen, wenn sich z unbegrenzt der Zahl 3 nähert (dh. in beliebige Nähe von 3 kommt). Dies schreibt man kurz so an: v(3) = ​ lim   z ¥ 3​ ​ ​ _ v​ (3; z) [Lies: v(3) ist der Limes von ​ _ v​ (3; z) für z gegen 3.] Aufgrund der Tabelle vermuten wir: Nähert sich z unbegrenzt der Zahl 3, dann nähert sich ​ _ v​ (3; z) unbegrenzt der Zahl 30. Also: v(3) = ​ lim  z ¥ 3​ ​ ​ _ v​(3; z) = 30m/s Hätten wir in der letzten Aufgabe die Geschwindigkeit v(3) nicht einfacher erhalten können? Wir hätten ja einfach in der Formel ​ _ v​ (3; z) = 5 · (z + 3) für z die Zahl 3 einsetzen können und damit v(3) = ​ _ v​ (3; 3) = 5 · (3 + 3) = 30 erhalten. Dieses Vorgehen ist streng genommen nicht erlaubt, weil die Formel ​ _ v​ (3; z) = 5 · (z + 3) nur für z ≠ 3 gilt. Wir können das Ergebnis jedoch rechtfertigen, indem wir folgendermaßen argumentieren: Wenn sich z unbegrenzt der Zahl 3 nähert, dann nähert sich die Zahl z + 3 unbegrenzt der Zahl 3 + 3 = 6 und somit die Zahl 5 · (z + 3) unbegrenzt der Zahl 5 · 6 = 30. Allgemein definiert man: Definition Bewegt sich ein Körper gemäß der Zeit-Ort-Funktion s: t ¦ s(t), dann setzt man: „„ Mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall [​t​ 1  ​; ​t​ 2 ​] = ​ _ v​ (t 1 ; t 2 ) = ​  s(​t​ 2 ​) – s(​t​ 1 ​) __ ​t​ 2 ​– ​t​ 1 ​  ​ „„ Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = v(t) = ​lim  z ¥ t​ ​ ​ _ v​ (t; z) = ​  lim   z ¥ t ​ ​  s(z) – s(t) __ z – t  ​ Bemerkung: v(t) wird auch als Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t bezeichnet. Beispiel: Ein Geschwindigkeitsmesser, zB ein Tachometer in einem Auto, zeigt die Momentan- geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt an. Zeitintervall [3; z] mittlere Geschwindigkeit ​ _ v​ (3; z) [3; 4] 35 [3; 3,5] 32,5 [3; 3,1] 30,5 [3; 3,01] 30,05 [3; 3,001] 30,005 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv