Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

129 6.2 Kreis und Gerade Aufgaben Vertiefung 6.67 Ermittle Gleichungen der Tangenten vom Punkt Q aus an den Kreis k! a) k: x 2 + y 2 = 20, Q = (5 1 0) c) k: x 2 + y 2 + 4y – 61 = 0, Q = (11 1 1) b) k: (x – 1) 2 + (y + 1) 2 = 10, Q = (5 1 1) d) k: (x – 2) 2 + (y + 8) 2 = 85, Q = (7 1 12) 6.68 Ermittle Gleichungen der Tangenten an den Kreis k: x 2 + (y – 3) 2 = 5 vom Schnittpunkt Q der Geraden g: 2x – 5y = 20 und h: x + y = 3 aus! 6.69 Unter welchem Winkel sieht man den Kreis k: (x + 2) 2 + (y – 2) 2 = 20 vom Punkt Q = (3 1 2) aus? 6.70 1) Ermittle jenen Punkt Q der Geraden g: x + y + 16 = 0, der vom Mittelpunkt des Kreises k: x 2 + y 2 – 2x – 6y = 10 den kleinsten Abstand hat! 2) Die Gerade g ist um den Punkt Q so zu drehen, dass die durch die Drehung erhaltene Gerade g’ den Kreis k berührt. Wie groß ist das Drehwinkelmaß? 6.71 Vom Punkt Q aus werden die Tangenten t 1 und t 2 an den Kreis k gelegt. Ermittle  1) die Berührpunkte P 1 und P 2 von t 1 und t 2 mit k,  2) Gleichungen von t 1 und t 2  , 3) das Winkelmaß von t 1 und t 2  ,  4) den Flächeninhalt des Dreiecks QP 1 P 2  ,  5) die Seitenlängen des Dreiecks QP 1 P 2 ! a) Q = (10 1 5), k: x 2 + y 2 = 25 c) Q = (10 1 –7), k: (x + 5) 2 + (y – 3) 2 = 65 b) Q = (10 1 – 20), k: x 2 + y 2 = 50 d) Q = (12 1 –1), k: (x + 3) 2 + (y – 4) 2 = 125 6.72 Die Tangenten t 1 und t 2 an den Kreis k vom Punkt Q aus und die dazu parallelen Tangenten t 3 und t 4 begrenzen einen Rhombus. Ermittle dessen Eckpunkte und Flächeninhalt! a) k: x 2 + y 2 = 40, Q = (–10 1 10) b) k: x 2 + y 2 = 50, Q = (15 1 5) Tangenten mit vorgegebener Richtung 6.73 Ermittle Gleichungen der Tangenten an den Kreis k: (x + 1) 2 + (y – 2) 2 = 45, die den Richtungsvektor ​ ​ _  À  g​= (1 1 2) haben und gib die Berührpunkte an! Lösung: 1. Lösungsmöglichkeit: „„ Ermittle selbst eine Gleichung der Normalen n durch den Mittelpunkt M des Kreises k mit dem Normalvektor ​ ​ _  À  g​ „„ Schneide n mit dem Kreis k! Man erhält die Berührpunkte P = (5 1 –1) und P’ = (–7 1 5). „„ Stelle die Tangentengleichungen in diesen Punkten selbst auf! Es ergibt sich: t: 2x – y = 11, t’: 2x – y = –19 2. Lösungsmöglichkeit: „„ Normalvektor der Tangenten t und t’: ​ ​ _  À  n​= (2 1 –1) Gleichungen der Tangenten t und t’: 2x – y = c, wobei c passend zu bestimmen ist. „„ Bestimmen von c: – Der Mittelpunkt M = (–1 1 2) hat von jeder der beiden Tangenten den Abstand r = ​ 9 __ 45​. – Hesse’sche Normalform der Tangentengleichungen: 2x – y – c = 0  É  ​  2x – y – c __ ​ 9 5​ ​= 0 Daher gilt: ​ †  ​  2 · (–1) – 2 – c __ ​ 9 5​ ​  † ​= ​ 9 __ 45​ É  ​  4 + c _  ​ 9 _ 5​ ​= ± ​ 9 __ 45​ É  4 + c = ±15  É  c = 11  =  c = –19 „„ Tangentengleichungen: t: 2x – y – 11 = 0 t’: 2x – y + 19 = 0 Ó 1 x y 1 0 k M n t P' P g t' Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv