Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

128 6 Kreis und Kugel Tangenten aus einem Punkt an einen Kreis 6.66 Vom Punkt Q = (–7 1 4) aus sind Tangenten an den Kreis k zu legen, der den Mittelpunkt M = (3 1 – 6) und den Radius r = 9 __ 20hat. Berechne die Koordinaten der Berührpunkte! Lösung: Aus der Zeichnung erkennt man: Es gibt zwei passende Tangenten t und t’ mit den Berührpunkten P und P’. 1. Lösungsmöglichkeit (mit dem Skalarprodukt): Gleichung von k: (x – 3) 2 + (y + 6) 2 = 20 Die Tangente t berühre den Kreis k im Punkt P = (p 1 1 p 2 ). Es muss gelten: P * k w (p 1 – 3) 2 + (p 2 + 6) 2 = 20 _  À  MP © _  À  QP w (p 1 – 3 1 p 2 + 6) · (p 1 + 7 1 p 2 – 4) = 0 Insgesamt erhalten wir folgendes Gleichungssystem: {    (p 1 – 3) 2            + (p 2 + 6) 2            = 20 (p 1 – 3)(p 1 + 7) + (p 2 + 6)(p 2 – 4) = 0   {    p 1 2 + p 2 2 – 6p 1 + 12p 2 + 25 = 0               p 1 2 + p 2 2 + 4p 1 +   2p 2 – 45 = 0 Um dieses Gleichungssystem zu vereinfachen, lassen wir die erste Gleichung unverändert und subtrahieren die zweite Gleichung von der ersten: {  p 1 2 + p 2 2 – 6p 1 + 12p 2 + 25 = 0 –10p 1 + 10p 2 + 70 = 0         w p 2 = p 1 – 7  Einsetzen in die erste Gleichung liefert die quadratische Gleichung: p 1 2 + (p 1 – 7) 2 – 6p 1 + 12(p 1 – 7) + 25 = 0 Löse diese Gleichung selbst! Es ergibt sich: p 1 = 5 = p 1 = –1 p 2 = – 2 = p 2 = – 8 Berührpunkte: P = (5 1 –2), P’ = (–1 1 – 8) 2. Lösungsmöglichkeit (mit dem Thaleskreis): Da die Geraden MP und QP einen rechten Winkel bilden, muss der Punkt P nach dem Satz von Thales auf dem Kreis k* mit dem Durchmesser QM liegen. Mittelpunkt von k*: M* =   1 _ 2 · (M + Q) = (– 2 1 –1) Radius von k*: r* = †    1 _ 2 · _  À  QM  † = † (5 1 – 5) † = 9 __ 50 Gleichung von k: (x – 3) 2 + (y + 6) 2 = 20 Gleichung von k*: (x + 2) 2 + (y + 1) 2 = 50 P * k w (p 1 – 3) 2 + (p 2 + 6) 2 = 20 P * k* w (p 1 + 2) 2 + (p 2 + 1) 2 = 50 Insgesamt erhalten wir folgendes Gleichungssystem: {    (p 1 – 3) 2 + (p 2 + 6) 2 = 20 (p 1 + 2) 2 + (p 2 + 1) 2 = 50 {    p 1 2 + p 2 2 – 6p 1 + 12p 2 + 25 = 0 p 1 2 + p 2 2 + 4p 1 +   2p 2 – 45 = 0 Damit haben wir dasselbe Gleichungssystem wie bei der 1. Lösungsmöglichkeit erhalten. 0 1 1 Q P P' t' t M k x y 0 1 1 Q P P' t' t M k x y M* k* Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv