Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

127 6.2 Kreis und Gerade Aufgaben Vertiefung 6.57 Der Kreis k hat den Mittelpunkt M = (4 1 –2) und den Radius r = ​ 9 __ 40​. 1) Ermittle jene Punkte auf der 1. Achse, die auf dem Kreis k liegen! 2) Stelle Gleichungen der Tangenten an den Kreis k in diesen Punkten auf! 6.58 Der Punkt P liegt auf dem Kreis k. Stelle eine Gleichung der Tangente an den Kreis im Punkt P auf und ermittle den Flächeninhalt des Dreiecks, das diese Tangente mit den positiven Koordinaten- achsen einschließt! a) k: (x – 5) 2 + (y + 7) 2 = 25, P = (9 1 p 2 ) mit p 2 < 0 b) k: x 2 + (y – 3) 2 = 65, P = (p 1  1 4) mit p 1 > 0 6.59 Der Punkt P liegt auf dem Kreis k. Stelle eine Gleichung der Tangente an den Kreis im Punkt P auf und berechne den Abstand dieser Tangente vom Punkt Q! a) k: x 2 + y 2 = 17, P = (–1 1 p 2 ) mit p 2 < 0, Q = (6 1 7) b) k: (x + 1) 2 + (y – 1) 2 = 2, P = (0 1 p 2 ) mit p 2 > 0, Q = (7 1 0) 6.60 Die Gerade t ist Tangente an den Kreis k mit dem Mittelpunkt O = (0 1 0). Stelle eine Gleichung des Kreises k auf! a) t: 3x + y = 10 b) t: 2x – 3y = 13 c) t : 2x + y = 10 6.61 In den Schnittpunkten der Geraden g mit dem Kreis k sind Tangenten an k zu legen. Gib Gleichungen dieser Tangenten an! a) g: 3x – 2y = –7, k: (x – 4) 2 + (y – 3) 2 = 26 b) g: 2x + y = 14, k: (x + 2) 2 + (y – 3) 2 = 65 c) g: X = (0 1 5) + t · (2 1 –1), k hat den Mittelpunkt M = (3 1 1) und den Radius r = ​ 9 __ 85​ d) g: X = (– 2 1 – 4) + t · (1 1 – 3), k hat den Mittelpunkt M = (0 1 0) und den Radius r = 10 6.62 Ermittle eine Gleichung jenes Kreises k, auf dem die Punkte A, B und C liegen! Stelle Gleichungen der Tangenten an k in den Punkten A, B und C auf und berechne den Flächeninhalt des Dreiecks, das von diesen Tangenten begrenzt wird! a) A = (– 2 1 3), B = (10 1 9), C = (2 1 15) b) A = (– 2 1 –1), B = (0 1 – 5), C = (4 1 –1) 6.63 Ermittle Gleichungen der Tangenten an den Kreis k: x 2 + y 2 = r 2 in den Punkten P = (p 1  1 p 2 ) und Q = (q 1  1 q 2 ) des Kreises! Bestimme den Schnittpunkt S dieser Tangenten und zeige, dass die Gerade MS auf die Gerade PQ normal steht! 6.64 Die Punkte P 1 = (a 1 b), P 2 = (b 1 – a) und P 3 = (b 1 a) mit 0 < a < b liegen auf einem Kreis k mit dem Mittelpunkt M = (0 1 0). 1) Zeige, dass die Tangente an k in P 1 auf die Tangente in P 2 normal steht! 2) Bestimme die Schnittpunkte S 12  , S 13  , S 23 der Tangenten an den Kreis in den Punkten P 1 und P 2  , in P 1 und P 3 sowie in P 2 und P 3 ! 3) Berechne die Flächeninhalte der Deltoide OP 1 S 12 P 2  , OP 1 S 13 P 3 und OP 2 S 23 P 3 ! 6.65 1) Ermittle eine Gleichung des Kreises, der durch die Punkte A = (6 1 6) und B = (0 1 –4) geht und dessen Mittelpunkt auf der Geraden g: x = –2 liegt! 2) Stelle Gleichungen der Tangenten an diesen Kreis in den Punkten A und B auf! 3) Wie groß sind die Winkel, die diese Tangenten miteinander bilden? 4) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks, das von den Punkten A, B und dem Schnittpunkt der beiden Tangenten gebildet wird! Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv