Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

126 6 Kreis und Kugel 6.52 Ermittle c so, dass der Kreis k die Gerade g berührt! a) k: x 2 + y 2 = 25, g: 3x + 4y = c b) k: (x + 4) 2 + (y – 6) 2 = 2, g: x + y = c 6.53 Welche Beziehung muss für r, k und d gelten, damit der Kreis x 2 + y 2 = r 2 und die Gerade g: y = kx + d genau einen gemeinsamen Punkt haben? 6.54 Gib ein konkretes Beispiel eines Kreises k an, der mit den Geraden g: 7x – y = 13 und h: x + y = 3 die folgende Lagebeziehung hat! a) k ° g = { }, k ° h = { } c) k ° g = {S 1  , S 2  }, k ° h = {S 3  , S 4  } e) k ° g = {S 1  , S 2  }, k ° h = {S 3  } b) k ° g = {S 1  , S 2  }, k ° h = { } d) k ° g = {S 1  }, k ° h = { } f) k ° g = {S 1  }, k ° h = {S 2  } Tangente in einem Punkt eines Kreises Definition Eine Gerade, die mit einem Kreis nur den Punkt P gemeinsam hat, bezeichnet man als Tangente an den Kreis im Punkt P. Satz Die Tangente in einem Punkt P eines Kreises mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r steht normal auf den Radius MP. Beweis: Wie wir im Satz auf Seite 123 gezeigt haben, führt der Schnitt eines Kreises k mit einer Geraden g auf die quadratische Gleichung: ​ ​ _  À  g​ 2  · t 2 + 2 · ​ 2 ​ ​ _  À  g​· ​ ​ _  À  MP​  3 ​· t + ​ ​ _  À  MP​ 2 – r 2 = 0 Wenn nun g die Tangente an den Kreis k im Punkt P des Kreises k ist, dann ist ​ _ MP​= r und die quadratische Gleichung lautet: ​ ​ _  À  g​ 2  · t 2 + 2 · ​ 2 ​ ​ _  À  g​· ​ ​ _  À  MP​  3 ​· t + 0 = 0 Da k und g genau einen Punkt gemeinsam haben, muss die Diskriminante D dieser Gleichung null sein: D = ​ 4 2 · ​ 2 ​ ​ _  À  g​· ​ ​ _  À  MP​  3 ​  5 ​ 2 ​– 4 · ​ ​ _  À  g​ 2  · 0 = ​ 4 2 · ​ 2 ​ ​ _  À  g​· ​ ​ _  À  MP​  3 ​  5 ​ 2 ​= 0 Daraus folgt ​ ​ _  À  g​· ​ ​ _  À  MP​= 0 und das bedeutet ​ ​ _  À  g​ © ​ ​ _  À  MP​. Also steht g normal auf MP.  6.55 Gib eine Gleichung der Tangente im Punkt P = (6 1 p 2 ) des Kreises k: (x – 2) 2 + (y – 1) 2 = 25 an (wobei p 2 > 0)! Lösung: Setzt man in der Kreisgleichung x = 6, so ergibt sich y = 4. Also ist P = (6 1 4). Ein Normalvektor der gesuchten Tangente ist ​ ​ _  À  MP​= P – M = (6 1 4) – (2 1 1) = (4 1 3). Gleichung der Tangente: t: 4x + 3y = 36 Aufgaben Grundkompetenzen 6.56 Ermittle eine Gleichung der Tangente an den Kreis k im Punkt P des Kreises! a) k: x 2 + y 2 = 100, P = (– 8 1 p 2 ) mit p 2 > 0 b) k: x 2 + y 2 – 4x + 8y = 149, P = (7 1 p 2 ) mit p 2 > 0 c) k: (x – 3) 2 + (y – 2) 2 = 65, P = (p 1  1 – 5) mit p 1 > 0 d) k: (x – 4) 2 + (y + 2) 2 – 40 = 0, P = (p 1  1 0) mit p 1 > 0 e) k: x 2 + y 2 + 10x + 8y + 1 = 0, P = (p 1  1 – 2) mit p 1 < 0 f) k: (x – 4) 2 + (y + 4) 2 – 98 = 0, P = (– 3 1 p 2 ) mit p 2 > 0 Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv