Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

125 6.2 Kreis und Gerade Aufgaben Vertiefung 6.40 Gib jene Punkte an, die von den Punkten A und B gleich weit entfernt sind und vom Punkt M den Abstand d haben! a) A = (5 1 2), B = (3 1 4), M = (7 1 5), d = 5 c) A = (6 1 11), B = (2 1 –1), M = (– 3 1 4), d = 9 __ 20 b) A = (7 1 3), B = (3 1 5), M = (– 5 1 –1), d = 9 __ 45 d) A = (10 1 –5), B = (4 1 5), M = (–1 1 2), d = 9 __ 170 6.41 Gib eine Gleichung des Kreises k 1 an, der durch die Punkte A = (–2 1 3) und B = (2 1 –1) geht und dessen Mittelpunkt auf dem Kreis k 2 : (x – 5) 2 + (y – 4) 2 = 4 liegt! Wie viele Lösungen gibt es? 6.42 Gegeben ist der Kreis k 1 : x 2 + y 2 – 4x – 6y = 52. Der Kreis k 2 hat den Mittelpunkt M 2 = (11 1 9) und geht durch A = (6 1 a 2 ) * k 1 mit a 2 > 0. 1) Ermittle eine Gleichung des Kreises k 2 ! 2) Ermittle den zweiten Schnittpunkt B der beiden Kreise und zeige, dass die Gerade AB auf die Gerade M 1 M 2 normal steht! 6.43 Durch den Punkt P im Inneren des Kreises k ist jene Gerade zu legen, für die die im Inneren des Kreises liegende Sehne am kürzesten ist. Berechne die Koordinaten der Endpunkte und die Länge der Sehne! a) P = (4 1 8), k: (x – 6) 2 + (y – 2) 2 = 50 b) P = (10 1 2), k: (x – 1) 2 + (y + 4) 2 = 130 6.44 Ermittle jene Punkte auf dem Kreis k, die von den Geraden g und h gleichen Abstand haben! a) k: (x – 2) 2 + (y – 1) 2 = 25, g: X = (9 1 5) + s · (1 1 – 3), h: X = (4 1 0) + t · (–1 1 3) b) k: (x – 1) 2 + (y – 2) 2 = 50, g: X = (5 1 6) + s · (2 1 1), h: X = (5 1 6) + t · (1 1 2) 6.45 Zur Geraden g sind im Abstand d parallele Geraden gelegt. Berechne die Schnittpunkte dieser Parallelen mit dem Kreis k! a) g: y = 2x, d = 9 __ 20, k: x 2 + y 2 = 65 b) g: x + y = 4, d = 3 9 _ 2, k: (x – 1) 2 + (y – 3) 2 = 20 6.46 Gesucht sind Gleichungen jener Kreise, die durch die Punkte A und B gehen und den Radius r haben. a) A = (2 1 – 4), B = (– 8 1 0), r = 9 __ 58 b) A = (– 9 1 5), B = (3 1 1), r = 9 __ 290 6.47 Auf der Geraden, die die Mittelpunkte der Kreise k 1 : x 2 + y 2 – 6x + 2y = 0 und k 2 : x 2 + y 2 + 4x – 12 = 0 verbindet, sind jene Punkte zu suchen, die vom Punkt P = (2 1 7) den Abstand 9 __ 117haben. 6.48 Berechne den Zentriwinkel und den Flächeninhalt des Kreisabschnitts, den die Gerade g vom Kreis k abschneidet! a) g = AB mit A = (1 1 1) und B = (10 1 –2), k: (x + 4) 2 + (y + 4) 2 = 130 b) g: x + 2y = – 17, k: x 2 + y 2 + 22y + 71 = 0 6.49 Gegeben ist das Dreieck ABC mit A = (–7 1 1), B = (11 1 – 5) und C = (3 1 11). 1) Bestimme eine Gleichung des Umkreises des Dreiecks M AB M AC M BC der Seitenmittelpunkte sowie die Schnittpunkte dieses Kreises mit den drei Höhenlinien des Dreiecks ABC! 2) Zeige, dass drei der Schnittpunkte mit den Höhenfußpunkten des Dreiecks ABC zusammenfallen! 6.50 Wie ist a zu wählen, damit die Gerade g: –2x + y = a Tangente des Kreises mit dem Mittelpunkt M = (–1 1 8) und dem Radius r = 2 9 _ 5ist? 6.51 Für welche Werte von a hat die Gerade g: y = a · x mit dem Kreis k: (x – 5) 2 + (y – 5) 2 = 10 1) keinen Punkt, 2) genau einen Punkt, 3) zwei Punkte gemeinsam? Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv