Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

124 6 Kreis und Kugel 6.33 Berechne die Schnittpunkte des Kreises k: (x + 2) 2 + (y – 7) 2 = 85 mit der Geraden g: X = (8 1 1) + t · (4 1 1)! Lösung: Ein Schnittpunkt S = (x 1 y) liegt auf g und auf k. Da S auf g liegt, gibt es ein t * R , sodass gilt: (x 1 y) = (8 1 1) + t · (4 1 1)  É  ​ {  ​  x = 8 + 4t       y = 1 +    t ​ ​ ​ Da S auch auf k liegt, müssen diese Werte die Kreisgleichung erfüllen: (8 + 4t + 2) 2 + (1 + t – 7) 2 = 85 17t 2 + 68t + 51 = 0 t 2 + 4t + 3 = 0 t = –1  =  t = – 3 Einsetzen dieser Werte in die Parameterdarstellung von g liefert die Schnittpunkte S 1 = (4 1 0) und S 2 = (– 4 1 – 2). Aufgaben Grundkompetenzen 6.34 Berechne die Schnittpunkte des Kreises k mit der Geraden g! a) k: x 2 + y 2 = 25, g: y – x = –1 d) k: (x + 2) 2 + (y – 4) 2 = 45, g: y = 3x – 5 b) k: x 2 + y 2 = 65, g: x – 2y = –15 e) k: (x + 5) 2 + (y + 9) 2 = 170, g: x + 4y = 10 c) k: (x + 3) 2 + (y – 2) 2 = 85, g: 4x + y = 7 f) k: x 2 + y 2 – 4x + 10y – 36 = 0, g: 2x + 3y = 2 6.35 Berechne die Schnittpunkte des Kreises k mit der Geraden g! a) k: x 2 + y 2 – 50 = 0, g: X = (1 1 – 2) + t · (2 1 1) b) k: x 2 + y 2 – 130 = 0, g: X = (5 1 12) + t · (–2 1 3) c) k: (x – 5) 2 + (y + 2) 2 = 52, g: X = (3 1 6) + t · (1 1 1) d) k: (x – 1) 2 + (y + 3) 2 – 25 = 0, g: X = (12 1 – 5) + t · (4 1 – 3) e) k: x 2 + y 2 – 4x + 10y = 36, g: X = (0 1 – 2) + t · (5 1 –1) f) k: M = (– 3 1 – 4), P = (–1 1 1) * k, g: X = (2 1 – 2) + t · (–7 1 3) 6.36 Welche Punkte der Geraden g haben vom Punkt P den Abstand a? a) g: 2x + y = 4, P = (7 1 5), a = ​ 9 __ 65​ d) g: X = (5 1 2) + t · (–1 1 3), P = (0 1 2), a = ​ 9 __ 45​ b) g: x – 3y = –14, P = (2 1 – 3), a = ​ 9 __ 85​ e) g: X = (–2 1 5) + t · (3 1 –4), P = (–3 1 –2), a = ​ 9 __ 125​ c) g: 3x – 4y = 13, P = (6 1 – 5), a = ​ 9 __ 50​ f) g: X = (–2 1 –1) + t · (5 1 3), P = (–5 1 4), a = ​ 9 __ 170​ 6.37 Bestimme die gegenseitige Lage des Kreises k und der Geraden g! a) k: x 2 + y 2 + 2x + 4y + 1 = 0, g: y = 15 d) k: x 2 + y 2 + 2x = 129, g: A = (13 1 5), B = (–11 1 –11) b) k: (x + 12) 2 + (y – 8) 2 = 68, g: 4x – y = –22 e) k: x 2 + y 2 – 16 = 0, g: X = (1 1 15) + t · (2 1 – 3) c) k: x 2 + y 2 = 25, g: x + 2y = 16 f) k: M = (2 1 – 4), r = 13, g: 5x + 12y = 131 6.38 Welche der folgenden Kreise haben mit der Geraden g: 3x – 4y = 20 zwei Schnittpunkte?  x 2 + y 2 = 16  (x – 6) 2 + (y + 7) 2 = 25  (x – 4) 2 + (y – 1) 2 = 9  x 2 + y 2 + 4y = 5  (x – 4) 2 + (y – 4) 2 = 25  (x + 3) 2 + (y – 2) 2 = 49 Hinweis: Ermittle den Abstand des Kreismittelpunktes von der Geraden g! 6.39 Welche der folgenden Geraden haben mit dem Kreis k: (x – 3) 2 + (y + 7) 2 = 36 keine gemeinsamen Punkte?  4x + 3y = 21  4x – 3y = 3  3x + 5y = 10  5x – 2y = 4  3x + 4y = 12  3x – 4y = 4  5x + 3y = 30  4x – 5y = 8 Hinweis: Ermittle den Abstand des Kreismittelpunktes von der Geraden g! Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv