Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

123 P' t' t M k k' 6.2 Kreis und Gerade Gegenseitige Lage und Schnitt von Kreis und Gerade Satz Ein Kreis und eine Gerade haben entweder zwei Punkte, einen Punkt oder keinen Punkt gemeinsam. Beweis: Es sei k: (X – M) 2 = r 2 ein Kreis und g: X = P + t · _  À  geine Gerade. Der Punkt X liegt genau dann auf dem Kreis k und der Geraden g, wenn gilt: (P + t · _  À  g– M) 2 = r 2 4 _  À  g· t + (P – M)  5 2 – r 2 = 0 4 _  À  g· t + _  À  MP 5 2 – r 2 = 0 _  À  g 2 · t 2 + 2 · 2 _  À  g· _  À  MP   3 · t + _  À  MP 2 – r 2 = 0 Diese quadratische Gleichung in t hat zwei Lösungen, eine Lösung oder keine Lösung. Daher haben k und g zwei Punkte, einen Punkt oder keinen Punkt gemeinsam.  Definition Gegeben seien ein Kreis k und eine Gerade g. Die Gerade g heißt Sekante von k, wenn g mit k genau zwei Punkte gemeinsam hat, Tangente von k, wenn g mit k genau einen Punkt gemeinsam hat, Passante von k, wenn g mit k keinen Punkt gemeinsam hat. Bemerkung: secare (lat.) = schneiden, tangere (lat.) = berühren, passare (lat.) = vorbeigehen 6.32 Bestimme die gegenseitige Lage des Kreises k: (x + 2) 2 + (y – 2) 2 = 50 und der gegebenen Geraden! 1) g 1 : x + y = 8 2) g 2 : x + y = 10 3) g 3 : x + y = 12 Lösung: 1) Ein Punkt (x 1 y) liegt genau dann auf dem Kreis k und der Geraden g, wenn gilt: {    (x + 2) 2 + (y – 2) 2 = 50        x + y = 8 w y = 8 – x Einsetzen in die erste Gleichung liefert: (x + 2) 2 + (8 – x – 2) 2 = 50 x 2 – 4x – 5 = 0 x = –1 = x = 5 Setzt man diese Werte in die Gleichung y = 8 – x ein, erhält man: y = 9 = y = 3 Schnittpunkte: P 1 = (–1 1 9), P 2 = (5 1 3). Die Gerade g 1 ist eine Sekante des Kreises k. 2) Gehe analog zu 1) vor! Es ergibt sich die quadratische Gleichung x 2 – 6x + 9 = 0. Diese Gleichung hat genau eine Lösung: x = 3. Es ergibt sich also genau ein Schnittpunkt: P = (3 1 7). Die Gerade g 2 ist eine Tangente des Kreises k. 3) Gehe wiederum wie in 1) vor! Es ergibt sich die quadratische Gleichung x 2 – 8x + 27 = 0. Diese Gleichung hat keine Lösung. Es ergibt sich also kein Schnittpunkt. Die Gerade g 3 ist eine Passante des Kreises k. g 1 g 3 g 2 P 2 P 1 P Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv