Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

122 6 Kreis und Kugel 6.24 Welche Bedingung müssen die Koeffizienten der Gleichung x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 erfüllen, damit diese Gleichung eines Kreises ist? Lösung: Wir formen die Gleichung so um, dass Quadrate der Form (x – m 1 ) 2 bzw. (y – m 2 ) 2 entstehen. 2  x +   a _ 2   3 2 + 2  y +   b _ 2   3 2 + c =   a 2 _ 4  +   b 2 _ 4  2  x +   a _ 2   3 2 + 2  y +   b _ 2   3 2 =   a 2 + b 2 – 4c __ 4  Dies ist genau dann eine Gleichung eines Kreises, wenn a 2 + b 2 – 4c > 0 bzw. a 2 + b 2 > 4c ist. In diesem Fall handelt es sich nämlich um den Kreis mit dem Mittelpunkt M = 2  –   a _ 2   1  –   b _ 2     3 und dem Radius r =   1 _ 2 9 ______ a 2 + b 2 – 4c. Wir halten das Ergebnis der letzten Aufgabe fest: Satz Die Gleichung x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 ist genau dann Gleichung eines Kreises , wenn a 2 + b 2 > 4c ist. Aufgaben Grundkompetenzen 6.25 Stellt die folgende Gleichung einen Kreis dar? Wenn ja, gib Mittelpunkt und Radius an! a) x 2 + y 2 + 2x – 4y – 9 = 0 e) x 2 + y 2 + 4y – 5 = 0 b) x 2 + y 2 – 6x – 2y – 13 = 0 f) x 2 + y 2 + 5x – 3y – 10 = 0 c) x 2 + y 2 + 10x + 4y – 1 = 0 g) x 2 + y 2 – 2x + 2y – 1 = 0 d) 4x 2 + 4y 2 – 12x + 16y = 39 h) x 2 + y 2 + 8y = 9 6.26 Welche der folgenden Gleichungen stellen einen Kreis mit dem Radius 10 dar?  x 2 + y 2 – 10x + 10y – 50 = 0  x 2 + y 2 – 12x – 16y = 0  x 2 + y 2 + 8x – 6y – 125 = 0  x 2 + y 2 + 30y – 125 = 0  x 2 + y 2 – 4x – 84 = 0  x 2 + y 2 – 40x + 20y + 400 = 0 Aufgaben Vertiefung 6.27 Zeige, dass die Gleichung x 2 + y 2 + 4x – 6y – 32 = 0 einen Kreis darstellt! Der Punkt A = (a 1 1 6) mit a 1 > 0 liegt auf diesem Kreis, M ist sein Mittelpunkt. Gesucht ist eine Gleichung eines weiteren Kreises, der die Gerade MA im Punkt M berührt und durch den Punkt B = (–4 1 1) geht. 6.28 Ermittle eine Gleichung des zum Kreis k: x 2 + y 2 – 8x + 2y + 1 = 0 konzentrischen Kreises, dessen Radius a) doppelt so groß, b) halb so groß ist! 6.29 Ermittle eine Gleichung des zum Kreis k: x 2 + y 2 + 6x + 4y – 5 = 0 konzentrischen Kreises, der durch den Punkt P geht! a) P = (2 1 – 3) b) P = (– 5 1 4) c) P = (– 2 1 0) d) P = (– 3 1 5) 6.30 Ermittle eine Gleichung des zum Kreis k: x 2 + y 2 – 6x + 8y – 2 = 0 konzentrischen Kreises, der a) die erste Achse berührt, b) die zweite Achse berührt, c) durch den Ursprung geht! 6.31 Die Punkte A = (–1 1 a 2 ) mit a 2 < 0, B = (7 1 b 2 ) mit b 2 > 0 und C = (c 1 1 7) mit c 1 < 0 liegen auf dem Kreis k: x 2 + y 2 – 2x – 2y = 38, M ist der Mittelpunkt dieses Kreises. Ermittle Gleichungen der Kreise, auf denen a) die Punkte A, B und M, b) die Punkte A, C und M, c) die Punkte B, C und M liegen! Ó Lernapplet fn4q4b Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv