Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

121 6.1 Der Kreis 6.18 Ermittle eine Gleichung des Umkreises des Dreiecks ABC! a) A = (– 4 1 7), B = (0 1 – 5), C = (8 1 3) c) A = (3 1 – 8), B = (12 1 1), C = (6 1 13) b) A = (– 5 1 – 3), B = (10 1 0), C = (6 1 8) d) A = (– 9 1 –7), B = (6 1 – 2), C = (8 1 10) 6.19 Ermittle eine Gleichung des Inkreises des Dreiecks ABC! a) A = (– 3 1 0), B = (6 1 0), C = (12 1 8) c) A = (1 1 – 5), B = (7 1 – 2), C = (3 1 6) b) A = (– 2 1 – 6), B = (10 1 6), C = (– 4 1 8) d) A = (–7 1 7), B = (5 1 – 2), C = (5 1 12) 6.20 Ermittle Gleichungen der Kreise, die die Geraden g 1 und g 2 berühren und ihren Mittelpunkt auf der Geraden g 3 haben! ( Hinweis: Winkelsymmetralen!) a) g 1 : x – 2y = 6, g 2 : 2x – y = 0, g 3 : X = (10 1 12) + t · (1 1 3) b) g 1 : 7x + y = 3, g 2 : x – y = 5, g 3 : X = (10 1 13) + t · (3 1 4) 6.21 Die Gerade durch A und B ist parallel zur Geraden g. Ermittle eine Gleichung des Kreises, der durch A und B geht und g berührt! ( Hinweis: Streckensymmetralen!) a) A = (12 1 –15), B = (–12 1 b 2 ), g: x + 3y = 47 b) A = (2 1 –7), B = (– 6 1 b 2 ), g: 2x + y = 37 6.22 Gegeben ist das Dreieck ABC: a) A = (– 4 1 1), B = (8 1 1), C = (2 1 9) b) A = (– 5 1 – 2), B = (9 1 – 2), C = (4 1 10) 1) Ermittle Gleichungen der Winkelsymmetralen des Dreiecks ABC und bestimme den Inkreismittel- punkt I sowie den Inkreisradius î ! 2) Lege zu jeder der drei Winkelsymmetralen eine Normale durch den jeweiligen Eckpunkt des Dreiecks! Diese Normalen legen ein Dreieck I a I b I c fest. Bestimme I a  , I b und I c und zeige, dass jeder dieser Punkte Mittelpunkt eines Kreises ist, der die Trägergeraden aller drei Dreieckseiten berührt! Man nennt I a  , I b und I c die Ankreismittelpunkte des Dreiecks ABC. 3) Gib Gleichungen der drei Ankreise an! Welche besondere Bedeutung kommt dem Punkt I im Dreieck I a I b I c zu? Quadratische Gleichungen als Kreisgleichungen Quadriert man die Klammern in einer Kreisgleichung (x – m 1 ) 2 + (y – m 2 ) 2 = r 2 aus, erhält man eine quadratische Gleichung der Form x 2 + y 2 + ax + by + c = 0. Stellt jede solche Gleichung einen Kreis dar? 6.23 Untersuche, ob die folgende Gleichung einen Kreis darstellt! a) x 2 + y 2 + 8x – 2y – 32 = 0 b) x 2 + y 2 – 2x + 3y + 5 = 0 Lösung: Wir formen die Gleichung durch Ergänzen auf vollständige Quadrate um. a) (x + 4) 2 + (y – 1) 2 – 32 = 16 + 1  w  (x + 4) 2 + (y – 1) 2 = 49 Dies ist eine Gleichung des Kreises mit dem Mittelpunkt M = (–4 1 1) und dem Radius r = 7. b) (x – 1) 2 + ​ 2  y + ​  3 _ 2 ​  3 ​ 2 ​+ 5 = 1 + ​  9 _ 4 ​ w  (x – 1) 2 + ​ 2  y + ​  3 _ 2 ​  3 ​ 2 ​= – ​  7 _ 4 ​ . Dies ist keine Kreisgleichung. 122222222234222222225 12345 º 0 < 0 Ó Ó C A B I b I a I c I Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv