Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

12 1 a b (a) 0 t 1 k b – a 2 Grundbegriffe der Differentialrechnung Grundkompetenzen Den Differenzenquotienten (die mittlere Änderungsrate ) kennen und interpretieren können. Den Differentialquotienten (die Änderungsrate ) kennen und interpretieren können. Die Leibniz’sche Schreibweise für den Differenzen- und Differentialquotienten kennen. Wissen, dass bei einer linearen Funktion der Differenzen- und der Differentialquotient stets gleich der Steigung der Funktion ist. Den Begriff der Tangente als Grenzlage von Sekanten kennen und erläutern können. Steigungen von Funktionsgraphen interpretieren können. Ableitungsregeln für Polynomfunktionen kennen und anwenden können. Höhere Ableitungen kennen und für Polynomfunktionen berechnen können. 2.1 Differenzenquotient und Differentialquotient Geschwindigkeit 2.01 Beim Bungee-Jumping befindet sich der Springer im freien Fall, wenn man vom Luftwiderstand absieht. Für den Weg s(t), den ein Körper beim freien Fall im Zeitintervall [0; t] zurücklegt, gilt näherungsweise s(t) = 5t 2 (t in Sekunden, s in Meter). 1) Berechne die mittlere Geschwindigkeit des Springers im Zeitintervall [1; 4]! 2) Gib eine Formel für die mittlere Geschwindigkeit des Springers im Zeitintervall [t; z] an! 3) Wie groß ist die Geschwindigkeit des Springers zum Zeitpunkt 3? Lösung: 1) Wir bezeichnen die mittlere Geschwindigkeit des Springers im Zeitintervall [t 1 ; t 2 ] mit _ v (t 1 ; t 2 ). _ v (1; 4) =   zurückgelegter Weg ___  benötigte Zeit  =   s(4) – s(1) __  4 – 1  =   5 · 4 2 – 5 · 1 2 __  3  = 25 (m/s) Der Springer legt in den einzelnen Sekunden nicht den gleichen Weg zurück. (Am Anfang legt er in einer Sekunde etwas weniger, gegen Ende in einer Sekunde etwas mehr zurück.) lm Mittel (!) legt er jedoch 25m pro Sekunde zurück. 2) _ v (t; z) =   s(z) – s(t) __  z – t  =   5 · z 2 – 5 · t 2 __  z – t  =   5 · (z 2 – t 2 ) __ z – t  =   5 · (z – t)(z + t) ___ z – t  = 5 · (z + t) Diese Formel gilt nur für z ≠ t, weil sonst die Nenner der Brüche gleich 0 wären. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv